Gran confusión con fermiones y bosones y cómo se relacionan con el espín total del átomo

En contraste con las respuestas incorrectas anteriores que no había notado, no hay ambigüedad ni confusión sobre las estadísticas de Bose-Einstein o Fermi-Dirac para sistemas compuestos como los átomos.

Una partícula (partículas elementales o compuestas) que contiene un número par de fermiones elementales (u otros) es un bosón; si contiene un número impar, es un fermión. Los bosones siempre tienen un espín entero; Los fermiones siempre tienen un giro semientero. Por el teorema de la estadística de espín, la función de onda de dos bosones es invariante bajo su intercambio pero es antisimétrica bajo el intercambio de dos fermiones idénticos. Estas dos reglas son teoremas para partículas elementales y, asumiendo este teorema, también es trivial demostrar estas afirmaciones para partículas compuestas.

En particular, para un átomo neutro, el número de protones y electrones es igual, por lo que su paridad total es par. Por eso solo importan los neutrones. Un isótopo con un número par de neutrones es un bosón (el átomo completo: por ejemplo, helio-4); un isótopo con un número impar de neutrones es un fermión (el átomo completo: por ejemplo, helio-3).

Eso no significa que los bosones compuestos exhiban todos los mismos fenómenos físicos como la superfluidez que podemos observar con algunos bosones.

El momento magnético de una partícula cargada "suficientemente elemental" escala como$1/m$dónde$m$es la masa de la partícula. Es por eso que el momento magnético de los protones, neutrones y núcleos es de 1000 a 2000 veces menor que el momento magnético de los electrones. Es por eso que los espines nucleares son en gran parte despreciables para el comportamiento del átomo en un campo magnético.

Esto no es una contradicción porque los átomos completos tienen momentos magnéticos mucho más grandes que los núcleos por separado, debido a los neutrones: los átomos no son "lo suficientemente elementales" en esta definición. Tanto los giros de los electrones como su momento angular orbital contribuyen al momento magnético de un átomo. Además, existe un mayor número de estados porque un átomo es un ejemplo típico de la "suma de varios momentos angulares". El producto tensorial del espacio de Hilbert se puede descomponer como una suma directa de los espacios de Hilbert con valores fijos del momento angular total. La degeneración y el momento magnético de estos componentes dependen del momento angular total, es decir, de la orientación relativa de los momentos angulares relacionados con el núcleo y los electrones.

En efecto, las líneas espectrales de todo el átomo exhiben la llamada estructura hiperfina. Hasta cierta aproximación, el espín nuclear puede ignorarse por completo. Pero cuando se tienen debidamente en cuenta las consideraciones del párrafo anterior, cada línea espectral se divide en varias líneas espectrales más finas cercanas (más o menos 3 órdenes de magnitud más cercanas entre sí), cada una de las cuales corresponde a un valor diferente del ángulo total. cantidad de movimiento de todo el átomo (o, de manera equivalente, un valor diferente de$\vec J_{\rm electrons}\cdot \vec J_{\rm nucleus}$).

Hay dos cuestiones diferentes aquí. (1) ¿Es una buena aproximación describir un sistema compuesto particular como un bosón o un fermión? (2) Si es así, ¿cuál es?

La pregunta #2 es la fácil. El teorema de la estadística del espín nos dice que si el espín es un número entero, el objeto es un bosón. Para un átomo o ion, esto está determinado por si el número total de electrones y quarks es par.

La pregunta #1 es más complicada. La respuesta de Akhmeteli ha explicado, basándose en ideas generales sobre la mecánica cuántica, por qué la respuesta puede ser no. Para un átomo, creo que este problema se reduce al régimen de energía/temperatura con el que estás tratando y la fuerza de la interacción entre el núcleo y los electrones (interacción hiperfina). Si el núcleo no interactuara en absoluto con los electrones, no tendría sentido considerarlos como un sistema compuesto. Interactúan, pero la interacción es muy débil; equivale a$\sim 10^{-4}$eV, o alrededor de 1 K en términos de temperatura.

A temperatura ambiente, estamos lidiando con temperaturas cientos de veces más altas que esta escala, por lo que cualquier efecto hiperfino es demasiado delicado para importar. Esta es la razón por la que, por ejemplo, las propiedades de los gases 3He y 4He difieren solo debido a sus diferentes masas.

A temperaturas por debajo de aproximadamente 1 K, los efectos hiperfinos comienzan a tener importancia. A estas temperaturas, los líquidos de 3He y 4He difieren cualitativamente, porque el 4He es un bosón y forma un superfluido debido a efectos análogos a la condensación de Bose-Einstein.

Para hacer esto más claro, puede ser útil observar que aquí hay dos escalas de temperatura independientes. La primera es la descrita en el primer párrafo anterior, la temperatura correspondiente a la fuerza de la interacción hiperfina. llamemos a esto$T_{hf}$. El segundo es la temperatura a la cual la longitud de onda de De Broglie del átomo es igual al espaciado típico$n^{-1/3}$entre los átomos, donde$n$es la densidad numérica. Por debajo de esta temperatura, esperamos que la sustancia sea altamente mecánica cuántica, así que llamémosla$T_q$. Esta temperatura viene dada por$T_q=\hbar^2 n^{2/3}/2mk$. Para el 4He superfluido, esto resulta ser de aproximadamente 0,4 K. Para el helio, estas dos temperaturas son aproximadamente iguales, pero en principio están completamente separadas. Si queremos ver algún efecto de las estadísticas cuánticas, necesitamos una temperatura$\lesssim T_q$. Sucede que para el helio, esto también garantiza que estemos a temperaturas lo suficientemente bajas como para que el núcleo se acople al sistema y afecte las estadísticas, pero eso es un accidente de la física nuclear, que da momentos dipolares magnéticos en cierto orden. de magnitud

En general, no siempre es correcto intentar tratar los sistemas compuestos como elementales. Puede o no ser una buena aproximación para hacerlo. Por ejemplo, en física nuclear podemos intentar tratar a los nucleones como partículas elementales y hablar de interacciones de dos cuerpos entre ellos, pero esto es complicado e involucra aproximaciones, porque en realidad cuando un nucleón interactúa con otro nucleón, son solo seis quarks interactuando. Del mismo modo, no siempre tiene sentido atribuir las estadísticas de Bose o Fermi a un sistema compuesto. A temperaturas$\lesssim T_{hf}$, tiene sentido aproximadamente tratar un átomo como un sistema compuesto cuyas estadísticas están definidas por su espín total (nuclear acoplado a electrónico).

En un caso como 4He donde el núcleo tiene espín cero, hay dos razones distintas por las que el núcleo no afecta las estadísticas. Una es que el núcleo tiene espín entero, y agregar un número entero a otro número no afecta si es un número entero o medio entero. La otra razón es que un sistema con espín cero no puede tener un momento magnético, por lo que no hay forma de acoplarlo magnéticamente a los electrones y, por lo tanto,$T_{hf}$es efectivamente cero.

[EDITAR] Impulsado por el escepticismo de Lubos Motl, busqué un tratamiento más general de la cuestión básica de si, cuándo o a qué aproximación se aplica la estadística de espín a los sistemas compuestos. Resulta que el artículo clásico sobre este tema es Ehrenfest 1931. Desafortunadamente, este artículo científico pagado por los impuestos sobre la renta de mis abuelos está detrás de un muro de pago, pero aquí está el resumen:

Del principio de exclusión de Pauli derivamos la regla para la simetría de las funciones de onda en las coordenadas del centro de gravedad de dos cúmulos estables similares de electrones y protones, y justificamos la suposición de que los cúmulos satisfacen las estadísticas de Einstein-Bose o Fermi-Dirac. según si el número de partículas en cada grupo es par o impar. Se muestra que la regla se vuelve inválida solo cuando la interacción entre los grupos es lo suficientemente grande como para perturbar su movimiento interno.

Esto deja en claro que la aplicación del teorema de la estadística de espín a los sistemas compuestos es solo una aproximación. No puedo estar seguro, porque todavía no he encontrado una presentación más completa del argumento en línea, pero el resumen citado arriba parece ser consistente con mi análisis anterior de 3He y 4He líquidos. A temperaturas superiores$T_{hf}$, la interacción es "lo suficientemente grande como para perturbar" el "movimiento interno", es decir, el delicado acoplamiento hiperfino del espín nuclear con los electrones.

P. Ehrenfest y JR Oppenheimer, "Nota sobre las estadísticas de los núcleos", Phys. Rev. 37 (1931) 333, link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.37.333, DOI: 10.1103/PhysRev.37.333

Esto es lo suficientemente confuso como para hacerme querer garabatear algunas ecuaciones. Este es un operador de creación para el deuterio:

dónde$e^\dagger,p^\dagger,n^\dagger$son operadores de creación para electrones, protones y neutrones con una notación obviamente obvia para los índices de espín y momento.$\psi_{\alpha,\beta,\gamma}(l,p,q;\rho)$es una función de onda cuya forma detallada no me importa.$\rho$es un índice de configuración interna que incluye giro, nivel de energía interna, etc.

Al contar los fermiones, esto debería ser un fermión. De hecho, todos los coeficientes de Clebsch-Gordon (que he escondido en$\psi$) se desvanecerá siempre que el momento angular total no sea un medio entero, y el teorema de la estadística de espín aún se aplique. Así que calculemos el anticonmutador:

La carne es el anticonmutador de los operadores de campo. Trabajando eso encuentro:

que comienza con una función delta prometedora (obvio abuso de notación aquí: Kronecker = delta de Dirac), pero rápidamente se convierte en algo horrible. El primer término da claramente la$\delta_{\mu\rho}\delta_{rk}$queremos (hasta un cartel con el que no estoy seguro de qué hacer). Los otros términos dan matrices de densidad reducida de una y dos partículas. En general, estos tendrán componentes no triviales fuera de la diagonal que miden la correlación entre dos partículas inducidas por la tercera partícula.

Por ejemplo, concéntrese en el término de un electrón (quinto término del anticonmutador). haciendo el$p',q'$integrales, sumas y reordenando funciones delta da

Al observar la segunda función delta, vemos que este término se distribuye genéricamente en$k-r$tanto como la función de onda se extiende en$l$. Esto simplemente dice que el electrón está correlacionado con las otras partículas, pero tiene el efecto de dispersar el anticonmutador en el espacio de cantidad de movimiento. Volviendo al espacio de posiciones encontraremos que la relación de anticonmutación se modifica a distancias cortas, comparables al tamaño del estado compuesto.

Es posible que ocurra una cancelación milagrosa aquí y proporcione un buen anticonmutador local, pero no es obvio para mí y parece bastante improbable. Entonces, a partir de este cálculo, concluyo que:

• Está implícito en una de las suposiciones del teorema de la estadística de espín que uno está hablando de objetos fundamentales en lugar de compuestos, o
• He cometido un error, o
• el teorema de la estadística de espín es incorrecto. (Incluyo esta posibilidad solo para descartarla de inmediato. ;))

EDITAR: Los otros anticonmutadores desaparecen:$\left\{D,D\right\}=\left\{D^\dagger,D^\dagger\right\}=0$, pero la falla de la relación de anticonmutación anterior es suficiente para que no se pueda construir el espacio de Fock habitual. Quizás una definición de campo podría arreglar el álgebra, no es obvio para mí ...

En realidad, hay dos definiciones diferentes y no equivalentes de bosones. Por un lado, a menudo se definen como partículas con espín entero, por otro lado, a veces se definen como partículas para las que solo existen estados simétricos en la naturaleza (ver, por ejemplo, "Principles of Quantum Mechanics" de Dirac). Las partículas compuestas, como los átomos de hidrógeno, pueden ser bosones según la primera definición, pero no según la segunda. Las relaciones de conmutación para los operadores de creación/aniquilación de átomos de hidrógeno se derivan de las relaciones de anticonmutación para los operadores de creación/aniquilación de protones. y electrones que son partes de los átomos de hidrógeno, y esas relaciones de conmutación coinciden aproximadamente con las relaciones de conmutación para los operadores de creación/aniquilación de bosones en el límite de baja densidad.