Fuerzas como formas únicas y magnetismo

¡Gran pregunta!

Diría que "la fuerza es una sola forma" es una declaración que tiene algo de verdad, pero depende un poco del contexto.

En cualquier contexto en el que tenga una métrica, puede convertir libremente entre vectores y formas únicas, y la distinción entre ellos deja de ser interesante. Ejemplos de tales contextos incluyen el espacio-tiempo relativista y el 3-espacio newtoniano.

Si no tienes una métrica, no puedes hacer eso. Un ejemplo de esto es el espacio-tiempo galileano de cuatro dimensiones, que no admite una métrica (no degenerada). Otro ejemplo es cuando usa coordenadas generalizadas, como en la figura a continuación. los angulos$\phi$y$\theta$son coordenadas generalizadas que especifican el estado del brazo y la barra. No hay métrica definida en el$(\phi,\theta)$espacio. En función de estas coordenadas, se puede definir una energía potencial$U$para el sistema, que depende de las masas de sus tres partes (brazo superior, brazo inferior y barra). el gradiente de$U$es una forma de 1 y representa la fuerza gravitatoria sobre el sistema.

Otro ejemplo similar es que si tomamos la ecuación$W=Fd$para trabajos mecánicos, claramente si$F$es un escalar y$d$es un vector,$F$debe ser una forma 1.

Así que tenemos algunos contextos donde no hay motivación para insistir en que la fuerza es una forma 1 y otros ejemplos donde hay una motivación muy fuerte. Tenga en cuenta cómo su ejemplo de una fuerza magnética no encaja en el molde de los últimos tipos de contextos. No es derivable del gradiente de un potencial (porque depende de la velocidad), y no realiza trabajo sobre una partícula libre en ausencia de otras fuerzas. Por otro lado, encaja muy bien en la categoría de situaciones en las que la distinción entre un vector y una forma 1 es irrelevante. El electromagnetismo es una teoría puramente relativista sin un límite galileano útil y definido de manera única, por lo que no tiene sentido hablar de fuerzas magnéticas excepto en el contexto donde hay una métrica en el espacio-tiempo de 4 dimensiones.

Tal vez se pueda obtener alguna idea de este problema a partir de la relatividad. En relatividad, el campo EM está representado por una forma de dos (es decir, con 6 componentes). Cuando esta forma de dos se alimenta con una corriente para actuar, esto produce una fuerza, o más bien, cuatro fuerzas, por lo que se obtiene potencia además de fuerza.

¿Qué significa esto? Bueno, puede alimentar la fuerza cuatripartita con cualquier vector unitario temporal y obtener la potencia tal como la ve el observador que tiene ese vector unitario temporal como su velocidad cuádruple.

Por supuesto, todo eso está muy bien, pero no estamos más cerca de descubrir cómo definir el campo magnético de una sola forma en el espacio 3D de vainilla.

Nathaniel habla sobre el álgebra de Clifford (o geométrica), y tal vez eso pueda dar una idea. En GA, no tenemos esta obsesión por hablar de formas únicas y$k$-formas en general como mapeos--Sinceramente, siento que esta idea, que proviene de la geometría diferencial, es poco menos que una enfermedad, porque siempre significa que tienes que pensar en qué vectores actúan estos mapeos para que tengan sentido. GA le permite esquivar esa pregunta por completo (¡como le permitirá hacerlo aquí!) porque tales objetos se definen simplemente en términos de sus propiedades algebraicas.

Me gusta mucho más ese punto de vista porque para mí, la fuerza es fuerza. Puedes hacer muchas cosas con la fuerza, y es extraño destacar el trabajo y los desplazamientos como parte de la definición de fuerza en sí.

(Editado para eliminar una sección. Incluso si una partícula sigue una trayectoria arbitraria, no importará ya que la fuerza magnética seguirá siendo perpendicular a la velocidad, por lo que me equivoqué en ese punto).

Creo que el punto es que la fuerza de un campo EM que actúa sobre una partícula no solo está definida por las formas en sí, sino más bien por la Fuerza de Lorzenz.$F= q(E +i_v B)$Dónde$E$es una forma,$B$una forma dos donde insertamos el vector tangencial de la curva de partículas con la derivada interior. Aquí puedes ver que la parte magnética no está contribuyendo a la integral de trabajo ya que tenemos que insertar el vector tangencial nuevamente, lo que da Cero.