¿Es ∂μ+ieAμ∂μ+ieAμ∂_\mu + ie A_\mu una "derivada covariante" en el sentido de la geometría diferencial?

Es lo mismo. Los matemáticos se referirían a un escenario de teoría de calibre como un haz de fibras.$A_\mu$asume el papel de una conexión en el haz de fibras. Por supuesto, de los tres índices, los símbolos de Cristoffel$\Gamma^i{}_{jk}$tener, dos índices "vivos" en la fibra. Puede apreciar esto más fácilmente si observa las teorías de calibre no abelianas, en las que$(A_\mu)_{ij}=A_\mu^a T_{ij}^a$.

ANEXO :

1. ¿Por qué le importaría a uno? Si solo está interesado en calcular la corrección NNNLO en algún proceso QFT y tiene prisa, puede posponer la investigación de estas cosas. De lo contrario, en mi humilde opinión, se beneficiará enormemente al observar la descripción geométrica, que produce una descripción universal de la gravedad, el electromagnetismo y las fuerzas débil y fuerte.
2. ¿Es nueva esta interpretación? De nada. Recuérdese que la vieja idea de Kaluza-Klein ya establecía esta conexión. El U(1) del electromagnetismo fue "derivado" de las simetrías de un compacto$\mathbf{S}^1$. Por supuesto, en este caso el espacio compacto es unidimensional, por lo que es más difícil de apreciar que$A$tiene dos índices en ese espacio.
3. ¿Para qué es bueno esto? En el momento en que desea comprender por qué, digamos, un número instantáneo es un número entero, esta es la forma más fácil de hacerlo en mi humilde opinión. Todo se reduce a algunas declaraciones de topología bastante fáciles.
4. ¿Dónde se puede leer más? Hay muchas fuentes, una de ellas es el libro de texto de Nakahara sobre "Geometría, topología y física", y si no desea comprar un libro, puede consultar, por ejemplo , estas notas .

Ampliaré la respuesta existente con algunos puntos explicados con más detalle aquí ; Me referiré a los números de sección allí según corresponda, y me perdonará que cambie a su notación.

Derivada covariante de calibre de la teoría de Yang-Mills$D_\mu$se construye de manera que$\psi\to U\psi$con$U$en el grupo de Lie impone$D_\mu\psi\to UD_\mu\psi$, y podemos probar$[D_\mu,\,D_\nu]=igF_{\mu\nu}$(1.2.2). El tratamiento análogo de la gravedad toma las transformaciones de coordenadas generales (GCT) como las transformaciones de norma (1.3.1), por lo que la GCT$T_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}\to \tilde{T}_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}$impone$\nabla_\lambda T_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}\to \nabla_\lambda \tilde{T}_{\mu\nu\cdots}^{\rho\sigma\cdots}$. Mientras que los símbolos de Christoffel desempeñan el papel de$A_\mu$, el tensor de Riemann es análogo a$F_{\mu\nu}$desde$[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]A_\rho=R_{\mu\nu\rho\sigma}A^\sigma$.

Podemos “derivar” la relatividad general a partir de los principios de la teoría gauge, tal como podemos hacerlo con el electromagnetismo (1.1); que la gravedad sea atractiva excluye un gravitón de espín 1, y que sus lentes fotones excluyen un gravitón de espín 0, por lo que debemos tener un gravitón de espín 2 en su lugar. Esta diferencia con los bosones de calibre del modelo estándar sugiere que la gravedad es una teoría de calibre "cuadrada", una idea formalizada en las relaciones KLT (9.1), que históricamente se originó en la teoría de cuerdas pero que puede derivarse simplemente del tratamiento habitual de las amplitudes del diagrama de Feynman. .

Aparte de eso, sin embargo, se puede obtener una teoría de campo efectiva (8) a pesar de la no renormalizabilidad de la gravedad cuántica de 4 dimensiones. Tratar la traza del gravitón como un campo escalar corrige los parámetros de EFT (8.4.1), lo que da como resultado correcciones cuánticas al potencial newtoniano (8.5) y la métrica Reissner-Nordström (8.6).