¿GR explica la dilatación del tiempo cosmológico?

Creo que tu principal confusión es pensar que la dilatación del tiempo es$dt/dτ$. Esa definición no tiene sentido, porque los sistemas de coordenadas son arbitrarios y sin sentido. Puede que ni siquiera haya una coordenada nombrada$t$.

La razón$dt/dτ$es útil en las coordenadas de Schwarzschild es que las coordenadas de Schwarzschild tienen una simetría traslacional$t\mapsto t+δt$. Por lo tanto, puede hacer el siguiente argumento: suponga que emite dos pulsos de luz en$(t_e, \mathbf x_e)$y$(t_e{+}δt_e, \mathbf x_e)$, y se reciben en$(t_r, \mathbf x_r)$y$(t_r{+}δt_r, \mathbf x_r)$. El camino seguido por la luz puede ser complicado, pero independientemente de los detalles, se sigue de la simetría que$δt_e = δt_r$. Por lo tanto, el corrimiento al rojo/factor de dilatación del tiempo,$δτ_r/δτ_e$, es igual a$(δt_e/δτ_e)/(δt_r/δτ_r)$.

En coordenadas FLRW, puede hacer un argumento similar. Suprimiendo dos dimensiones espaciales, la métrica es$dt^2-a(t)^2 dx^2$. Esto tiene una simetría traslacional.$x\mapsto x+δx$. Por lo tanto, si emites dos rayos desde$(t_e,x_e)$y$(t_e,x_e{+}δx_e)$y se reciben en$(t_r,x_r{+}δx_r)$, por simetría$δx_e=δx_r$y la relación de longitudes de onda recibidas y emitidas es$(δx_e/δχ_e)/(δx_r/δχ_r) = a(t_r)/a(t_e)$(dónde$χ=a(t)\,x$). Si$δx$es lo suficientemente pequeño, entonces el$(t,χ)$las coordenadas son esencialmente minkowskianas y$δt_r/δt_e = a(t_r)/a(t_e)$también.

Estos dos casos especiales reciben los nombres de "desplazamiento al rojo gravitacional" y "desplazamiento al rojo cosmológico", pero se distinguen de los desplazamientos al rojo generales solo por el hecho de que son fáciles de calcular mediante argumentos de simetría particulares. Solo hay un tipo de desplazamiento al rojo en la relatividad general y, en principio, siempre se puede calcular calculando las trayectorias de los haces de luz emitidos en posiciones del espacio-tiempo ligeramente diferentes.

La dilatación del tiempo y el corrimiento al rojo están estrechamente conectados entre sí.

Un experimento mental

Imagina un extraterrestre en una galaxia distante apuntando dos láseres hacia la tierra. Uno es de longitud de onda muy larga y el otro es muy corto. El alienígena ha arreglado las cosas para que en cada ciclo del láser de longitud de onda larga, envíen un pulso corto de longitud de onda corta. Puedes imaginar el pulso corto que se emite al mismo tiempo que una de las crestas del láser de longitud de onda larga.

si llamamos$\lambda_L$la longitud de onda larga (medida por el extraterrestre), entonces el otro láser emite pulsos a intervalos de$\Delta t =\lambda_L / c$(medido por el extraterrestre).

¿Qué ves desde la Tierra? Bueno, debido al corrimiento al rojo, obtienes una longitud de onda

$$\lambda_L' = (1+z)\lambda_L.$$ ¿A qué intervalos vienen los pulsos del otro láser? Bueno, en el vacío, la velocidad de grupo de la luz es la misma que la velocidad de fase, si el pulso corto se emite al mismo tiempo que una de las crestas, te llegará al mismo tiempo que la cresta. Entonces llegará a intervalos de $$\Delta t' = \lambda_L'/c = (1+z)\lambda_L / c = (1+z)\Delta t.$$ Esta es la dilatación del tiempo. El extraterrestre puede usar$\Delta t$como una unidad de tiempo, y medir todas sus actividades usando esa unidad. Si celebran la víspera de año nuevo cada$10^{10}\Delta t$, verás los fuegos artificiales cada$(1+z)10^{10}\Delta t$.

(Ignoramos el hecho de que el pulso láser se propagará. Piensa en la modulación de los máximos de intensidad del láser corto, o enviando los pulsos cada$n$crestas, para que la extensión no provoque superposición. De todos modos, GR permite partículas puntuales sin masa, por lo que puede pensar en eso).

Alerta de confusión

Tenga en cuenta que cuando dije 'ver' arriba, lo dije en serio . Es una descripción de las observaciones de los fenómenos EM en la Tierra. Hay mucha confusión cuando se habla de la dilatación del tiempo en la relatividad.

Mira este ejemplo. Cada parte de la discusión que hice anteriormente se aplica igualmente bien a los observadores que se alejan de usted en el espacio-tiempo de Minkowski , donde$z>0$. Te lleva a concluir que cuando un extraterrestre se aleja de ti en una nave espacial en un espacio plano, lo ves en cámara lenta.

Pero podría tener la misma discusión con el extraterrestre que viene hacia usted en el espacio-tiempo de Minkowski, con$z<0$. En ese caso, concluirías que ves al extraterrestre acelerado. Pero ambos sabemos que eso no puede ser correcto, ¿verdad? ¿No aprendimos que el tiempo pasa más lento cuando un sistema se mueve en relación con nosotros?

Diferentes significados de la dilatación del tiempo.

Para aclarar esta confusión, seamos un poco más formales. Comencemos en un marco inercial$(t,x)$en el espacio de Minkowski (solo necesitamos 1+1 dimensiones). Haga que un observador trace una línea de tiempo dada por$x = f(t)$. Entonces la dilatación del tiempo es el enunciado de que

$$\int_{t_0}^{t_1} dt \sqrt{\eta_{\mu\nu}{\dot x(t)}{\dot x(t)}} < t_1 - t_0,$$ o, en palabras, que transcurrió el tiempo adecuado a lo largo de la trayectoria entre eventos$(t_0,x(t_0))$y$(t_1,x(t_1))$es menor que la diferencia en las coordenadas de tiempo $t_1-t_0$.

Ok, pero recuerda que las coordenadas no significan mucho en relatividad, y debes tener cuidado al interpretarlas. Si no los conecta a alguna cosa independiente coordinada, corre el riesgo de meterse en problemas.

Por ejemplo, en la paradoja de los gemelos , tienes a Bob sentado en reposo en el origen de las coordenadas, y Alice en su cohete que comienza en el origen y regresa a Bob. Ahora tenemos dos líneas de mundo que se cruzan dos veces, y podemos preguntarnos: ¿cómo se comparan los tiempos adecuados a lo largo de la línea de mundo de Alice y Bob? Bob está sentado en el origen de las coordenadas inerciales, por lo que su tiempo propio es solo la diferencia en el tiempo de las coordenadas, es decir, el lado derecho de la ecuación anterior. Así que ahora podemos dar un significado operativo a la dilatación del tiempo, sin invocar las coordenadas: cuando Alice y Bob se reencuentran, el reloj de Alice ha marcado menos veces que el de Bob.

¿Pero eso significa que Bob ve a Alice moviéndose en cámara lenta? No. La declaración anterior es sobre la comparación entre dos eventos que ocurren cuando las líneas de tiempo de Alice y Bob se encuentran, mientras que Bob ve es una pregunta sobre eventos a lo largo de la línea de tiempo de Bob solamente. Más precisamente, es una pregunta sobre eventos en los que los fotones que salen de Alice se cruzan con la línea de tiempo de Bob. Entonces, para responder a lo que ve Bob, miramos la discusión anterior con corrimiento al rojo. Bob ve a Alice desplazada hacia el rojo durante un rato (y, por lo tanto, en cámara lenta) y hacia el final del trayecto hacia el azul. Vea mi respuesta aquí para más detalles.

Tiempo cosmológico

Así que tenemos dos conceptos diferentes de dilatación del tiempo. ¿Cuál es mejor? Depende de la aplicación. Tenga en cuenta que el de comparar relojes no se aplica a las galaxias en retroceso.

Tenga en cuenta que su derivación que$d\tau = dt$para todos los observadores comóviles es absolutamente correcto. En la métrica FLRW , existe un sistema de coordenadas para que la coordenada de tiempo sea igual al tiempo propio de la mayoría de las galaxias. Esta es también la coordenada en la que la mayoría de las galaxias están en reposo. Sin embargo, para hacer astrofísica, necesitas traducir estos hechos en cosas que puedas observar desde la Tierra. Bueno, la distancia entre las galaxias (medida por el tiempo de vuelo de los fotones) aumenta, y la luz de las galaxias se desplaza hacia el rojo y los fenómenos astrofísicos distantes se ven en cámara lenta.

El desplazamiento al rojo cosmológico se puede entender en GR como la longitud de onda del fotón que se extiende con el espacio en expansión, pero tal como lo entiendo, la dilatación del tiempo cosmológico es un fenómeno diferente.

Del material citado parece que Ned Wright está usando la dilatación del tiempo gravitacional como otro término para el corrimiento al rojo gravitatorio. A lo sumo parece considerar uno como formas diferentes de decir lo mismo. De la primera cita

la dilatación del tiempo es una consecuencia de la interpretación estándar del desplazamiento al rojo: una supernova que tarda 20 días en desintegrarse parecerá tardar 40 días en desintegrarse cuando se observa con un desplazamiento al rojo z=1

Donde dice que la dilatación del tiempo es una interpretación del corrimiento al rojo.

El modelo de luz cansada no predice la dilatación del tiempo observada de las curvas de luz de supernova de alto corrimiento al rojo.

Lo cual apoya con un gráfico con el corrimiento al rojo (z) como eje horizontal.

En la métrica de Schwarzschild existe un potencial gravitacional y la dilatación del tiempo puede considerarse una función del potencial. Pero la métrica FLRW no tiene potencial. Entonces, por esa analogía, como usted señaló, no hay dilatación del tiempo gravitacional en el espacio-tiempo cosmológico. Por supuesto, puede cambiar el significado del término entre espaciotiempos, como parece que lo está haciendo Wright. Pero al hacerlo, no se aplican las mismas reglas.