¿Determinar la aceleración del Universo a partir de una sola estrella?

Para responder a esto, debemos averiguar qué tan rápido está cambiando el corrimiento hacia el rojo, luego decidir si el cambio es lo suficientemente grande para medir en el tipo de escalas de tiempo que podemos usar para la medición.

Describimos la expansión del universo por un factor de escala que convencionalmente establecemos en la unidad en este momento. Entonces, si la distancia actual a una estrella es$x_0$la variación de la distancia con el tiempo viene dada por:

$$x(t) = a(t)x_0$$

Y una diferenciación rápida da la aceleración de la estrella como:

$$\ddot{x} = \ddot{a} x_0$$

El cambio en la velocidad, y por lo tanto el cambio en el desplazamiento hacia el rojo, en algún momento$t$es aproximadamente$\Delta v = \ddot x t = \ddot a x_0 t$si aproximamos la aceleración como constante, que es una buena aproximación en escalas de tiempo humanas.

La aceleración del factor de escala viene dada por la segunda ecuación de Friedmann:

$$\frac{\ddot a}{a} = \frac{-4\pi G}{3}\left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3}$$

La presión es aproximadamente cero y actualmente$a = 1$así que esto se simplifica a:

$$\ddot a = -\tfrac{4}{3} \pi G\rho + \tfrac{1}{3}\Lambda c^2$$

La densidad de la materia (incluida la materia oscura) es de alrededor de dos átomos de hidrógeno por metro cúbico o convertida a SI:

$$\tfrac43\pi G\rho \approx 9 \times 10^{-37} \,\text{s}^{-2}$$

El valor actual de la constante cosmológica es$10^{−52}$metro$^{−2}$, y esto hace que el segundo término:

$$\frac{\Lambda c^2}{3} \approx 3 \times 10^{-36} s^{-2}$$

Dándonos el valor actual de$\ddot a$:

$$\ddot a \approx 2 \times 10^{-36} s^{-2}$$

Solo queda decidir a qué distancia podemos monitorear de manera confiable una sola estrella y durante cuánto tiempo queremos hacer el experimento. Tomemos mil millones de años luz como la distancia ($10^{25}$metros) y diez años para la duración del experimento ($3 \times 10^8$segundos) y obtenemos:

$$\Delta v \approx 0.006 \,\text{m/s}$$

Podemos medir el corrimiento hacia el rojo debido a velocidades tan pequeñas, por ejemplo usando el efecto Mossbauer, pero solo bajo condiciones de laboratorio cuidadosamente controladas. No tendríamos absolutamente ninguna esperanza de hacerlo utilizando una estrella a mil millones de años luz de distancia. En cualquier caso, la estrella tendrá un movimiento propio debido a los campos gravitatorios en los que viaja y no podemos estar seguros de que un cambio de velocidad tan pequeño no se deba solo a la aceleración gravitatoria local en lugar de a la expansión del espacio-tiempo.

En resumen, es una buena idea pero lamentablemente inviable.

Poder ver la aceleración de una estrella significa que se debe medir con una precisión mucho mejor que el error de medición actual en desplazamientos hacia el rojo. Por cierto, la expansión del espacio se mide por el cambio en el espectro de las galaxias, no de las estrellas.

En el artículo de wiki se ve una trama.

Gráfico de distancia (en giga años luz) frente al corrimiento al rojo según el modelo Lambda-CDM. dH (en negro sólido) es la distancia de comovimiento desde la Tierra hasta la ubicación con el corrimiento al rojo z del Hubble, mientras que ctLB (en rojo punteado) es la velocidad de la luz multiplicada por el tiempo de retrospectiva al corrimiento al rojo z del Hubble. La distancia de comovimiento es la distancia física similar al espacio entre aquí y la ubicación distante, asintótica con el tamaño del universo observable a unos 47 mil millones de años luz. El tiempo retrospectivo es la distancia que recorrió un fotón desde el momento en que se emitió hasta ahora dividida por la velocidad de la luz, con una distancia máxima de 13.800 millones de años luz correspondiente a la edad del universo.

La escala está en Giga años luz, un cálculo de error en esta curva aún estaría en fracciones de Giga años luz. No es posible medir un cambio, sobre el cual podría registrarse un cambio en el desplazamiento hacia el rojo, para medir una aceleración en tiempos de vida humana, que cuenta años, y así se pueden ver cambios en años luz.

En principio el experimento es factible (para una galaxia no para una estrella), pero no para los humanos.

La idea de medir el cambio en el corrimiento al rojo a lo largo del tiempo de una galaxia distante ha existido por lo menos desde la década de 1960 . Desafortunadamente, sigue estando muy por encima de nuestras capacidades técnicas. En una publicación anterior , derivé la ecuación para$\dot{z}$:

$$\dot{z} = (1+z)H_0 - H\!\left(\!\frac{1}{1+z}\!\right),$$ dónde$H(a)$es el parámetro de Hubble, expresado en términos del factor de escala. en un$\Lambda$modelo MDL con$H_0 = 68\ \text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$, esto da la siguiente gráfica:

Como se puede ver,$\dot{z}\sim 10^{-10}$por año. Con la tecnología actual, los desplazamientos al rojo de los cuásares se pueden medir con una precisión de hasta$10^{-5}$(ver Davis & Lineweaver (2003) , sección 4.3). En otras palabras, con la tecnología actual todavía tomaría ~100 000 años medir cualquier cambio en los desplazamientos al rojo. Es una gran idea, pero tenemos un largo camino por recorrer antes de que sea factible.

Solo necesita medir la velocidad de recesión de cualquier fuente astronómica.

La distancia apropiada a una fuente dada$d$está relacionado con la distancia de comovimiento$\chi$a través de:

$$d(t) = a(t) \chi$$

dónde$a(t)$es el factor de escala para la expansión del universo. Entonces la velocidad de recesión se puede escribir como:

$$\dot{d} = \dot{a} \chi = \frac{\dot{a}}{a} d$$

Entonces la constante de Hubble$H\equiv \dot{a}/a$mide la tasa de expansión del universo en la relación anterior a partir de la velocidad de recesión de la fuente y la distancia adecuada a ella.