¿Velocidad de recesión, corrimiento al rojo y diferentes modelos cosmológicos?

Lo que te estás perdiendo es quizás

$$H(z) = H_0\left((1-\Omega_\Lambda -\Omega_m)(1+z)^2 + (\Omega_\Lambda + \Omega_m)\frac{\rho(z)}{\rho_0}\right)^{1/2}$$ donde las densidades $\rho$dependen del contenido de materia, por lo que deben dividirse en diferentes épocas (de dominación de materia, radiación, etc.) para hacer la integral completa, pero solo. Esta ecuación se puede derivar de las ecuaciones de Friedmann. Una vez que introduzca los valores de las cantidades medidas hoy, $0$, puede calcular la integral y obtener la velocidad. Puede encontrar más detalles en el siguiente enlace ( https://ned.ipac.caltech.edu/level5/Peacock/Peacock3_2.html ) o en cualquier libro estándar sobre cosmología como "Fundamentos físicos de la cosmología" de Mukhanov (2005), Capitulo 2.

EDITAR: La fórmula anterior es válida para universos que no son espacialmente planos,$k\neq 0$.

A partir de la ecuación de Friedmann:

$$H^2(t) = \frac{8\pi G}{3}\rho(t)- \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3}$$

Resulta que para el documento "Expanding Confusion", toman cero la curvatura espacial (universo plano) para que los parámetros de densidad sumen 1 (así que siempre puedes eliminar uno de ellos, en tu caso eliminar$\Omega_r$) y que el universo esté compuesto únicamente de materia, radiación y una constante cosmológica de modo que con las definiciones usuales

$$\rho_{crit} = \frac{3H_0^2}{8\pi G}\qquad \textrm{and}\qquad \Omega_X = \frac{\rho_X}{\rho_{crit}},$$ con $0$denotar los valores de hoy y saber cómo se comportan los diferentes componentes del universo con respecto al factor de escala nos permite reescribir la ecuación de Friedmann en términos del factor de escala. Retirar por materia $\rho_m\propto a^{-3}$, por radiación $\rho_r\propto a^{-4}$y para la energía oscura asumimos constante en este caso, entonces $$H(a) = H_0\sqrt{\Omega_\Lambda + \Omega_m a^{-3} + \Omega_r a^{-4}}$$ con $a_0 =1$. Ahora usando la relación entre el factor de escala y el corrimiento al rojo $$\frac{a_0}{a(t)}=1+z$$ en la fórmula anterior, aquí es donde surgen los problemas, usando $\Omega_r = 1- \Omega_m - \Omega_\Lambda$y una escala de radiación como $a^{-2}$obtienes su resultado, sin embargo, al usar la escala correcta para la radiación, obtienes: $$H(z) = H_0 (1+z)\left( 1 + \Omega_m z + \Omega_\Lambda\left(\frac{1}{(1+z)^2}-1\right) + \color{red}{2z\Omega_r + z^2\Omega_r} \right)^{1/2}$$

Espero que esto ayude, pero ahora también tengo curiosidad acerca de cómo obtienen esa fórmula...

Eventualmente me di cuenta de que para responder a mi pregunta necesitaba entender la derivación de la Ecuación 25 de D&L:

$$H\left(z\right)=H_{0}\left(1+z\right)\left[1+\varOmega_{m}z+\varOmega_{\varLambda}\left(\frac{1}{\left(1+z\right)^{2}}-1\right)\right]^{1/2}.$$

Este es el parámetro de Hubble parametrizado por desplazamiento al rojo, no por tiempo. La densidad crítica en la actualidad es

$$\rho_{c}=\frac{3H_{0}^{2}}{8\pi G}.$$

Por lo tanto

$$H_{0}^{2}=\frac{8\pi G\rho_{c}}{3}$$

y

$$\varOmega=\frac{\rho}{\rho_{c}}=\frac{8\pi G\rho}{3H_{0}^{2}}.$$

La ecuación de Friedmann es

$$H^{2}\left(t\right)=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^{2}}{R^{2}}.$$

Dividido por$H_{0}^{2}$

$$\frac{H^{2}}{H_{0}^{2}}=\frac{8\pi G}{3H_{0}^{2}}\rho-\frac{kc^{2}}{R^{2}H_{0}^{2}}$$

$$\frac{H^{2}}{H_{0}^{2}}=\varOmega-\frac{kc^{2}}{R^{2}H_{0}^{2}}.$$ Dónde $\varOmega=\varOmega_{m}+\varOmega_{\varLambda}+\varOmega_{r}$. Encontrar $-kc^{2}$colocar $$-kc^{2}=H_{0}^{2}R_{0}^{2}-\frac{R_{0}^{2}8\pi G\rho}{3}$$ y obten $$\frac{H^{2}}{H_{0}^{2}}=\varOmega+\frac{H_{0}^{2}R_{0}^{2}}{H_{0}^{2}R^{2}}-\frac{R_{0}^{2}8\pi G\rho}{3R^{2}H_{0}^{2}}$$

$$\frac{H^{2}}{H_{0}^{2}}=\varOmega+\frac{R_{0}^{2}}{R^{2}}\left(1-\frac{8\pi G\rho}{3H_{0}^{2}}\right)$$ $$\frac{H^{2}}{H_{0}^{2}}=\varOmega+\frac{R_{0}^{2}}{R^{2}}\left(1-\varOmega\right).$$

Ahora escribe como una función del corrimiento al rojo$z$.

Primero,

$$\frac{R_{0}^{2}}{R^{2}}=\left(1+z\right)^{2}$$ donación $$H^{2}\left(z\right)=H_{0}^{2}\left[\varOmega+\left(1+z\right)^{2}\left(1-\varOmega\right)\right].$$

Y

$$\rho\left(z\right)=\rho_{m}\left(1+z\right)^{3}+\rho_{\varLambda}+\rho_{r}\left(1+z\right)^{4}$$

donación

$$H^{2}\left(z\right)=H_{0}^{2}\left[\varOmega_{m}\left(1+z\right)^{3}+\varOmega_{\varLambda}+\varOmega_{r}\left(1+z\right)^{4}+\left(1+z\right)^{2}\left(1-\varOmega\right)\right].$$ Para simplificar, dejemos $\varOmega_{r}=0$(al igual que Davis y Lineweaver) $$H^{2}\left(z\right)=H_{0}^{2}\left[\varOmega_{m}\left(1+z\right)^{3}+\varOmega_{\varLambda}+\left(1+z\right)^{2}\left(1-\varOmega_{m}-\varOmega_{\varLambda}\right)\right]$$ $$H^{2}\left(z\right)=H_{0}^{2}\left(1+z\right)^{2}\left[\varOmega_{m}\left(1+z\right)+\frac{\varOmega_{\varLambda}}{\left(1+z\right)^{2}}+1-\varOmega_{m}-\varOmega_{\varLambda}\right]$$ $$H^{2}\left(z\right)=H_{0}^{2}\left(1+z\right)^{2}\left[1+\varOmega_{m}z+\varOmega_{\varLambda}\left(\frac{1}{\left(1+z\right)^{2}}-1\right)\right]$$

$$H\left(z\right)=H_{0}\left(1+z\right)\left[1+\varOmega_{m}z+\varOmega_{\varLambda}\left(\frac{1}{\left(1+z\right)^{2}}-1\right)\right]^{1/2}.$$