Agujero negro electromagnético?

Tal singularidad no ocurriría si no tienes un límite inferior en la carga negativa. Para la gravedad, la singularidad ocurre porque la energía potencial gravitacional y la energía cinética relativista dependen de la masa del objeto más pequeño, lo que le permite dividirse cuando resuelve la velocidad de escape. Sin embargo, en este caso, solo la energía potencial electromagnética, no la energía cinética, depende de la carga negativa. Esto significa que la carga negativa nunca se divide y, por lo tanto, puede disminuir arbitrariamente la magnitud de esta carga para que la velocidad de escape sea tan baja como desee.

Sin embargo, si fija la carga negativa en algún valor q 2 , no podrá escapar cuando su energía potencial electromagnética sea igual a su energía en reposo (hasta un signo). Así que solo establece 1 4 π ϵ 0 0 q 1 q 2 r = m c 2 (de nuevo, hasta el signo correcto) y resuelva para r .

Para proporcionar un tratamiento relativista consistente del problema, modelaré la "bola de espuma" mediante la métrica Reissner-Nordström que representa el campo gravitacional y electromagnético relativista de un punto de masa efectiva METRO y cargar Q . La razón por la que estoy llamando METRO la masa efectiva es que incluso el campo electromagnético puro lleva necesariamente algo de energía y, por lo tanto, se verá desde lejos como una masa gravitante de alguna masa METRO Q . No discutiré aquí qué METRO Q debería ser y simplemente irse METRO como un parámetro libre, en principio distinto de cero. (La única influencia en este análisis es que esto permite la existencia de un horizonte de eventos).

También usaré el término horizonte de eventos , que es el horizonte habitual conocido por la relatividad general desde la cual no puede escapar ninguna partícula , y el término "horizonte electromagnético", que sería un punto desde el cual una partícula de cierta carga no puede escapar.

Las lecturas métricas de Reissner-Nordström (en unidades geométricas)

El potencial electromagnético UNA μ tiene solo un componente distinto de cero que es UNA t = - Q / r . Una partícula de prueba cargada en este campo obedece a las ecuaciones de Hamilton generadas por el hamiltoniano.

Ahora investiguemos la condición mi > m para una partícula puramente radialmente en movimiento. Para esta partícula podemos usar la normalización de cuatro velocidades sol μ ν tu μ tu ν = - 1 para obtener

Si ahora sustituimos esto en mi > m , obtenemos fácilmente la condición necesaria para escapar

Los dos casos cuando mi > m pero la partícula no alcanza el infinito son los siguientes: Primero, el caso cuando r ˙ < 0 , porque eso corresponde a una caída radial y una terminación geodésica en la singularidad central para nunca alcanzar el infinito. Segundo, el caso cuando r ˙ > 0 dentro del horizonte (si existe), y la partícula luego escapa afuera con re t / d τ < 0 ; este caso es, de hecho, la caída radial "jugada hacia atrás". En cualquier otro caso mi > m es suficiente para el escape de partículas.

Para concluir, el campo electromagnético no crea un "horizonte electromagnético" que restringiría el escape de partículas de cierta carga. El único horizonte que pone un límite final en el escape de cualquier partícula es el horizonte de eventos. Mientras estemos fuera del horizonte de sucesos, una partícula de cualquier carga puede estar dotada de suficiente energía cinética para escapar del pozo potencial.

Aquí está mi intento de la pregunta:

Tenemos una esfera de carga Q y radio R . A una distancia r > R el potencial V ( r ) es dado por

Ahora, la energía total de la partícula X de masa m, carga -q, velocidad v está dada por

Digamos que la velocidad de escape de X a una distancia r viene dada por v mi y γ ( v mi ) = γ mi .

De la conservación de energía si X escapa