Geodésicas y CTC

Las curvas temporales cerradas pueden ser geodésicas. En algunos espaciotiempos, incluso es posible que cada geodésica sea una curva temporal cerrada. Creo que te refieres al teorema de protección de la cronología, que establece que las geodésicas causales cerradas provocarán una divergencia en la energía del vacío.

Una forma bastante sugerente para el propagador del campo cuántico es la forma de Hadamard

Que es una suma de todas las geodésicas que unen los puntos$x$y$y$de esas diversas funciones, para las cuales$\Delta$es el determinante de van Vleck, y$\sigma$es el intervalo geodésico. Las otras funciones dependen del operador diferencial exacto que esté considerando.

El tensor de energía de tensión depende de esa cantidad, en el límite de coincidencia de los puntos$x$y$y$. Esta cantidad es obviamente divergente, pero puede volver a normalizarse simplemente eliminando las cantidades divergentes de la geodésica que une los dos puntos.

Sin embargo, con las geodésicas causales cerradas, todavía tendrá partes divergentes que no se vuelven a normalizar. Es difícil de probar en el caso general (es por eso que sigue siendo una conjetura), pero es cierto para algunos ejemplos bien conocidos, como los agujeros de gusano y el espacio de Misner.

Desde una perspectiva física, esto se puede explicar de la siguiente manera:

Las curvas causales cerradas son bastante malas en las teorías de campo. Hay muchas configuraciones en las que un campo, cuando se enfrenta a una curva causal cerrada, simplemente da vueltas y vueltas, cambiando al azul con cada ciclo, y simplemente divergiendo hacia el infierno. Esto no es necesariamente demasiado terrible, porque esto solo puede suceder para algunas configuraciones del campo.

A diferencia de una teoría clásica, el vacío cuántico superará cada impulso, lo que garantiza que algunos de ellos se desplazarán hacia el azul. A medida que se acerque al horizonte de Cauchy, las curvas nulas se irán acercando cada vez más a la auto-intersección, el corrimiento al azul causado aumentará hasta, teóricamente, volverse infinito en el horizonte.

Entonces, para que un espacio-tiempo con una curva temporal cerrada no explote de esa manera, se supone que es necesario evitar cualquier geodésica causal cerrada.

Los espaciotiempos sin geodésicas causales cerradas pero con curvas causales cerradas (que no son demasiado difíciles de preparar, incluso si se generan de forma compacta) deberían estar bien, aunque tenga en cuenta que este análisis solo es válido para campos libres. Supongo que, en general, las curvas temporales cerradas tendrán consecuencias bastante malas en los campos cuánticos.