Densidad de estados de fonones a partir de la relación de dispersión.

Calcular DOS puede ser un asunto complicado. Parece que para sus propósitos, no tiene que ser muy preciso. Entonces, sugiero usar una forma rápida y sucia de calcular el DOS:

1. Elija un grupo (al menos un millón, pero siéntase libre de volverse loco)$\mathbf{q}$puntos al azar.
2. Para cada uno, encuentre$\omega\left(\mathbf{q}\right)$
3. Haz un histograma de la$\omega$valores que calculó.

Ese histograma es (proporcional a) su DOS.

¿Cómo funciona esto? El DOS básicamente le dice "cuántos" estados tienen una energía dada (o realmente, cuántos estados hay en una pequeña ventana de energía). Entonces, si hay más estados con una energía dada, entonces es más probable que un estado elegido al azar tenga esa energía. En resumen, el DOS es proporcional a la distribución de probabilidad de la energía para un elegido al azar$\mathbf{q}$. Hacer un histograma de la forma descrita anteriormente es una forma de calcular la distribución de probabilidad. Tendrás que averiguar la constante de proporcionalidad (o manipularla, creo que el modelo de Debye debería producir los mismos resultados a pequeña escala).$\mathbf{q}$). Todo esto se deriva de una definición alternativa (pero equivalente) del DOS:$g\left(\omega\right) = \int \frac{d\mathbf{q}}{\left(2 \pi \right)^d} \delta\left(\omega - \omega\left(\mathbf{q}\right)\right)$.

Otra opción es convertir esa integral de superficie en una integral de volumen utilizando el teorema de la divergencia. Esto puede ser bueno porque encontrar la superficie en sí es complicado, pero encontrar si un determinado$\mathbf{q}$está dentro del volumen es fácil. solo revisa eso$\omega\left(\mathbf{q}\right) < const$. Las computadoras son mucho mejores en integrales de volumen que en integrales de superficie. Este método es engañoso, aunque no es totalmente loco en su caso ya que tiene una forma analítica para su relación de dispersión. Podrías tomar la divergencia analíticamente y luego hacer la integral numéricamente. Sin embargo, elegiría el primer método a menos que necesite una respuesta realmente precisa. También existen muchos métodos más avanzados, pero probablemente sean excesivos para su situación.

(En respuesta a su pregunta, la superficie sobre la que le gustaría integrarse es un equipotencial, por lo que tiene razón en que está definida por$\omega\left(\mathbf{q}\right)= const$. Si desea hacer la integral de superficie, primero debe encontrar la superficie y luego integrarla. Si fuera tú, lo evitaría a toda costa).