¿Es esta ecuación para la densidad de estados de un material isotrópico elástico una aproximación?

La densidad de estados de fonones se puede calcular con

$$Z(\omega)=\frac{V}{(2\pi)^3}\int_{\omega=\text{const}}\frac{d\vec{f}_\omega}{|\vec\nabla\omega|}$$

dónde$\omega$es la frecuencia del fonón y$d\vec{f}_\omega$es la parte del vector de onda infinitesimal$d\vec q$que es perpendicular al plano$\omega(\vec q)=\text{const}$.

Ahora, para cada rama$i$(longitudinal o uno de los dos estados transversales degenerados) en un material isotrópico elástico, y su velocidad del sonido$c_i$, mi libro de texto dice que:

$$|\vec\nabla\omega|=c_i\\ \int_{\omega=\text{const}}d\vec{f}_\omega=4\pi q^2$$

Esto finalmente conduce a la ecuación

$$Z(\omega)=\frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{1}{c_L^3}+\frac{2}{c_T^3}\right)\omega^2$$

Entiendo el resultado de la integral de área, ya que es solo el área de la esfera con radio$q$. Sin embargo, no entiendo el resultado de$|\vec\nabla\omega|$. Aprendí que la velocidad del sonido es la velocidad de fase$c=\omega/q$. De hecho, esta relación se utilizó para llegar a la ecuación final del DOS. Ahora bien, dado que la derivada de$\omega$también es igual a la velocidad del sonido, eso significa una relación de dispersión lineal$\omega(\vec q)\propto q$debe haber sido asumido.

Sin embargo, esto me parece una aproximación y no entiendo por qué se puede usar en este caso. ¿Tengo razón con mi evaluación de que se trata de una aproximación? En caso afirmativo, ¿bajo qué circunstancias se puede utilizar?