¿Generalización de la fórmula de Itzykson-Zuber a integrales de trayectoria?

Question

¿Generalización de la fórmula de Itzykson-Zuber a integrales de trayectoria?

Física
modelo de matriz
integral de trayectoria
física-matemática

Zhengyan Shi

Algunos antecedentes : en la física matemática (en particular, la mecánica cuántica de matrices), a menudo se encuentran integrales de trayectoria de la forma:

Z = \int \prod_{a b} D {METRO}_{a b}^{1} (τ) D {METRO}_{a b}^{2} (τ) {mi}^{- norte S ({METRO}^{1}, {METRO}^{2}, {\dot{METRO}}^{1}, {\dot{METRO}}^{2})}

$Z = \int \prod_{ab} DM^1_{ab}(\tau) DM^2_{ab}(\tau) e^{-NS(M^1,M^2,\dot M^1,\dot M^2)}$ Dónde

M^{1}

$M^1$ y

M^{2}

$M^2$ son

N

$N$ por

N

$N$ Matrices hermitianas y

S

$S$ es una función invariante bajo la conjugación simultánea de

M^{1}

$M^1$ y

M^{2}

$M^2$ por

U (N)

$U(N)$ acción de grupo. Para comprender las propiedades de esta integral, los físicos a menudo buscan una versión más simple sin dependencia del tiempo:

Z^{'} = \int \prod_{a b} d {METRO}_{a b}^{1} d {METRO}_{a b}^{2} {mi}^{- norte V ({METRO}^{1}, {METRO}^{2})}

$Z' = \int \prod_{ab} dM^1_{ab} dM^2_{ab} e^{-NV(M^1,M^2)}$ Dónde

V

$V$ es la energía potencial en la acción

S

$S$ que generalmente se toma como un rastro de poderes de

M^{1}

$M^1$ y

M^{2}

$M^2$ . El truco habitual es hacer un cambio de coordenadas y escribir la medida como:

\int \prod_{a b} d {METRO}_{a b}^{1} = \int \prod_{a} d λ_{a}^{1} d {tu}^{1} \cdot Δ (λ^{1})^{2}

$\int \prod_{ab} dM^1_{ab} = \int \prod_{a} d \lambda^1_a dU^1 \cdot \Delta(\lambda^1)^2$ Dónde

λ_{a}^{1}

$\lambda^1_a$ 's son los valores propios de

M^{1}

$M^1$ y

d U^{1}

$dU^1$ esquemáticamente significa integral sobre la variedad del grupo

U (N) / U (1)^{N}

$U(N)/U(1)^N$ . El

Δ (λ^{1})^{2}

$\Delta(\lambda^1)^2$ término es sólo un factor jacobiano. Después de este cambio de coordenadas, obtenemos (por ejemplo) integrales de la forma:

\int d tu {mi}^{t r ({METRO}^{1} tu {METRO}^{2} tu)}

$\int dU e^{tr(M^1UM^2U)}$ Esta integral es difícil, pero hay una buena fórmula de Itzykson-Zuber para ella. Para obtener más información, consulte la publicación de blog de Terry Tao .

Mi pregunta : ¿existe una generalización de la fórmula de Itzykson-Zuber para las integrales de trayectoria? En particular, me pregunto si en general hay una buena fórmula para la integral:

\int D tu (τ) {mi}^{t r (A (τ) tu (τ) B (τ) tu (τ)}

$\int \mathcal{D}U(\tau) e^{tr(A(\tau)U(\tau)B(\tau)U(\tau)}$ Escrito en términos de

A (τ), B (τ)

$A(\tau),B(\tau)$ .

qmecanico

claro, si

I Z (τ)

$IZ(\tau)$ denota la integral habitual de Itzykson-Zuber con parámetro de tiempo

τ

$\tau$ , entonces la integral de trayectoria correspondiente se factoriza trivialmente en un producto formal

\prod_{τ} I Z (τ)

$\prod_{\tau}IZ(\tau)$ con el tiempo .

Zhengyan Shi

Entonces, ¿sería la respuesta algo como lo siguiente?

\prod_{τ} I Z (τ) = {mi}^{\sum_{i = 0}^{norte} registro I Z (i \frac{τ}{norte}) \cdot \frac{τ}{norte} \cdot \frac{norte}{τ}}

$\prod_{\tau} IZ(\tau) = e^{\sum_{i=0}^N \log IZ(i\frac{\tau}{N}) \cdot \frac{\tau}{N} \cdot \frac{N}{\tau}}$ Al final, cuando tomo un límite N grande (tamaño de paso pequeño), parece que obtengo algo divergente:

{mi}^{\int_{0}^{τ} registro I Z (τ) \cdot \frac{norte}{τ}} = I Z (τ)^{norte}

$e^{\int_0^{\tau} \log IZ(\tau) \cdot \frac{N}{\tau}} = IZ(\tau)^N$ Eso es confuso para mí. ¿Podrías ayudarme a entender eso mejor?

Respuestas (1)

¿Generalización de la fórmula de Itzykson-Zuber a integrales de trayectoria?

claro, si $IZ(\tau)$ denota la integral habitual de Itzykson-Zuber con parámetro de tiempo $\tau$ , entonces la integral de trayectoria correspondiente se factoriza trivialmente en un producto formal $\prod_{\tau}IZ(\tau)$ con el tiempo .
Entonces, ¿sería la respuesta algo como lo siguiente? $\prod_{τ} I Z (τ) = {mi}^{\sum_{i = 0}^{norte} registro I Z (i \frac{τ}{norte}) \cdot \frac{τ}{norte} \cdot \frac{norte}{τ}}$ $\prod_{\tau} IZ(\tau) = e^{\sum_{i=0}^N \log IZ(i\frac{\tau}{N}) \cdot \frac{\tau}{N} \cdot \frac{N}{\tau}}$ Al final, cuando tomo un límite N grande (tamaño de paso pequeño), parece que obtengo algo divergente: ${mi}^{\int_{0}^{τ} registro I Z (τ) \cdot \frac{norte}{τ}} = I Z (τ)^{norte}$ $e^{\int_0^{\tau} \log IZ(\tau) \cdot \frac{N}{\tau}} = IZ(\tau)^N$ Eso es confuso para mí. ¿Podrías ayudarme a entender eso mejor?

David Bar Moshé · Answer 1

La respuesta es positiva, módulo la falta de rigor inherente a la cuantificación de la integral de trayectoria. Hay una serie de trabajos de Antti Niemi y colaboradores donde se consideró este problema. Te daré aquí una introducción a su razonamiento principal y algunas referencias.

La fórmula de Itzykson-Zuber pertenece a un caso especial de integrales donde la aproximación semiclásica WKB es exacta debido al teorema de Duistermaat-Heckmann (que también se describe en la conferencia de Terry Tao).

Físicamente, las integrales que satisfacen esta propiedad se pueden expresar como funciones de partición clásicas:

Z = \int_{METRO} {mi}^{- β H (X)} d m (X)

$Z = \int_{\mathcal{M}} e^{-\beta H(x)} d{\mu}(x)$ Donde la integración es sobre un espacio de fase clásico

M

$\mathcal{M}$ que es una variedad simpléctica, y

d μ (x)

$d{\mu}(x)$ es la medida de Liouville en la variedad, que se puede escribir localmente como:

d m (X) = d mi t (ω) d_{L} (X)

$d{\mu}(x) = det(\omega) d_L(x)$ Dónde

ω

$\omega$ es la forma simpléctica y

d_{L}

$d_L$ es la medida de Lebesgue.

En la fórmula de Itzykson-Zuber, el integrando es invariante bajo la acción del toro máximo $T^n$ de $U(n)$ . Por lo tanto, la integración se puede realizar de manera efectiva en la variedad de banderas. $U(n)/T^n$ , que es una variedad simpléctica.

En física, la exactitud de la aproximación WKB se atribuye a la existencia de supersimetría.

Esta propiedad es explicada por A Keski-Vakkuri, Niemi, Semenoff y Tirkkonen en el siguiente trabajo . Repetiré los argumentos principales (que traeré aquí sus argumentos principales heurísticamente)

Esta supersimetría se obtiene exponenciando el factor determinante de la forma simpléctica mediante una integral de Berezin Grassmann:

Z = \int_{METRO} {mi}^{- β (H (X) + C^{a} ω_{a b} C^{b})} d_{L} (X)

$Z = \int_{\mathcal{M}} e^{-\beta ( H(x) + c^a \omega_{ab} c^b)} d_L(x)$ Uno puede verificar fácilmente que el integrando es invariante bajo el siguiente operador de supersimetría:

q = C^{a} \partial_{a} + ω^{a b} \partial_{a} H \frac{\partial}{\partial C^{b}}

$Q = c^a \partial_a + \omega^{ab}\partial_aH \frac{\partial}{\partial c^b}$ , es decir,

[q, H (X) + C^{a} ω_{a b} C^{b}] = 0

$[Q, H(x) + c^a \omega_{ab} c^b] = 0$ De este modo:

[q, {mi}^{- β (H (X) + C^{a} ω_{a b} C^{b})}] = 0

$[Q, e^{-\beta ( H(x) + c^a \omega_{ab} c^b)}] = 0$ Este operador se eleva al cuadrado a:

q^{2} = C^{a} \partial_{a} (ω^{b C} \partial_{C} H) \frac{\partial}{\partial C^{b}}

$Q^2 = c^a \partial_a( \omega^{bc} \partial_c H )\frac{\partial}{\partial c^b}$

Así este operador se desvanece en los puntos estacionarios $\partial_a H = 0$ .

La integral de Berezin elige la forma superior, la acción de Q en la forma superior tiene dos componentes, uno que reduce el número fantasma y el segundo aumenta el número fantasma, que actúa como una derivada exterior. Por lo tanto, la forma superior es exacta en todos los puntos donde $Q$ no es cero, ahí es cuando $\partial_a H \neq 0$ . Por lo tanto, solo los puntos donde el hamiltoniano es estacionario contribuyen a la integral. Así, la aproximación semiclásica es exacta.

Niemi generalizó el mismo razonamiento para integrales de trayectoria en dimensiones 0+1.

Observaciones finales

El razonamiento heurístico anterior parece aplicarse a cualquier hamiltoniano, pero un análisis más profundo muestra que solo se aplica a hamiltonianos que son funciones de Morse perfectas en el espacio de fase.
Witten aplicó el mismo razonamiento incluso en cálculos de teoría de campos, por ejemplo $N=2$ Teoría de Susy Yang-Mills en $4D$ .

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Zhengyan Shi

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Zhengyan Shi

Respuestas (1)

David Bar Moshé

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