¿Cuál es el significado físico de la relación? para el gas ultrarrelativista clásico? ¿Por qué es mayor que el gas ideal para el cual ?
Buena pregunta. A veces nos acostumbramos a un hecho determinado, como la equipartición con por grado de libertad, que olvidamos que no siempre es cierto, o qué suposiciones se requieren para que sea cierto. Tuve que refrescar mi memoria sobre cómo funciona la equipartición.
Básicamente el La forma del teorema de equipartición es un caso especial que solo funciona si la energía consta de términos que son proporcionales a los cuadrados de las coordenadas y los momentos. El 1/2 viene del exponente en estos cuadrados.
El artículo de WP sobre equipartición tiene una discusión sobre esto. Existe un teorema general de equipartición que dice que
dónde puede ser una coordenada o un momento conjugado. Si tiene un término proporcional a , la derivada parcial tiene un factor de en eso. En el caso ultrarrelativista, donde , en realidad no tienes una dependencia de los momentos (componentes del momento) que se descomponen en términos proporcionales a la potencia de cada momento. Sin embargo, creo que es bastante fácil ver por qué terminamos con el resultado que tenemos, porque en una dimensión, tenemos , que sí tiene la forma correcta, con un exponente de 1.
Primero tenga en cuenta que la relación de energía diferente no cambia la ecuación de estado del gas. Para un gas clásico sin interacciones, el hamiltoniano no depende de la posición, por lo que podemos ver inmediatamente que la función de partición y por lo tanto
En cuanto a las consecuencias físicas, la ecuación de la energía te dice exactamente lo que necesitas: a la misma temperatura, un gas ultrarrelativista tendrá el doble de energía que un gas ideal. La razón por la que son exactamente dos se explica por el teorema de equipartición.