Funciones ilimitadas en un punto del dominio: ¿Cómo mostrar que existe un campo eléctrico para cualquier densidad de carga de volumen continuo?

Mi entendimiento después de leer la respuesta de Mike Stone:

$$\begin{align} \vec{E} &= k \iiint_{V} \dfrac{\rho(x',y',z')[x-x'\hat{(i)}+y-y'\hat{(j)}+z-z'\hat{(k)}]}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}]^{3/2}}dx'dy'dz'\\ &= k \iiint_{V} \dfrac{\rho\ (\hat{r})}{r^2}dV\\ &=k \iiint_{V} \dfrac{\rho\ (\hat{r})}{r^2} r^2\ \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi\\ &=k \iiint_{V} \rho\ (\hat{r}) \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi\\ \end{align}$$

Ahora nuestra función es$\rho\ (\hat{r}) \sin\theta$.

$\hat{r}$y$\theta$son indefinidos sólo en el origen. Por lo tanto nuestra función$\rho\ (\hat{r}) \sin\theta$es indefinido sólo en el origen. Así que no podemos integrarlo directamente. Por lo tanto, tenemos que usar el enfoque límite :

$$\begin{align} \vec{E} &= \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\ k \left( \iiint_{V \setminus\ \text{sphere with radius $\epsilon$ centered at origin}} \rho\ (\hat{r}) \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi \right)\\ &-\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\ k \left(\iiint_{\text{over a sphere with radius $\epsilon$ centered at origin}} \rho\ (\hat{r}) \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi \right) \end{align}$$

en el primer termino$\rho, \hat{r} \text{ and } \theta$es definido y finito en todas partes. Por lo tanto, la integral en el primer término es finita.

Como el radio de la esfera$(\epsilon)$se acerca a cero,$\rho$se vuelve más y más constante y el segundo término tiende a cero.

Por eso:

$$\begin{align} \vec{E} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\ k \left( \iiint_{V \setminus\ \text{sphere with radius $\epsilon$ centered at origin}} \rho\ (\hat{r}) \sin\theta\ dr\ d\theta\ d\phi \right)=\text{finite} \end{align}$$

Sin embargo, no sé cómo proceder para simplificar aún más este término .