¿Cómo se distribuiría la carga en los conductores cargados si la ley de Coulomb no fuera 1/r21/r2{1}/{r^2}?

James Clerk Maxwell pensó en esto y mostró lo siguiente. Supongamos que tenemos dos esferas conductoras concéntricas y cargamos una a un potencial$\Phi$con respecto a algún plano de puesta a tierra. Entonces el voltaje de la esfera interna relativo a la misma tierra es:

dónde$\rho = r_{outer} / r_{inner}$es la relación de los radios de las esferas exterior e interior y$q$es la desviación entre la potencia de$r$en la ley de Coulomb y 2 . Por lo tanto, la dependencia radial en la ley de Coulomb es$r^{-(2\pm q)}$; si existe exactamente la dependencia del cuadrado inverso, entonces$q=0$. Este hecho se ha utilizado para probar la ley de Coulomb con alta precisión, consulte:

Plimpton, SJ; Lawton, WE, "Una prueba muy precisa de la ley de fuerza entre cargas de Coulomb", Physical Review, vol. 50 (1936), número 11, págs. 1066-1071

Si el fotón tiene una masa$m$, el culombio$1/r$potencial se generaliza a un potencial de Yukawa :

y así el experimento descrito puede usarse para unir la masa del fotón. Según Wikipedia (consulte "Comprobaciones experimentales de la masa del fotón" en la página "Fotón") , este límite es$10^{-14}\mathrm{eV}/c^2$, o sobre$1.6\times10^{-50}\mathrm{kg}$, es decir , sobre$10^{-20}$masas de electrones Así que ahora me gustaría mostrar cómo relacionar el potencial de Coulomb-Yukawa y la masa del fotón, y mostrar cómo interpretar el resultado nulo experimental. Un buen artículo de revisión (al menos fue claro para mí) aquí es:

Liang-Cheng Tu y Jun Luo, "Pruebas experimentales de la ley de Coulomb y la masa en reposo de fotones", Metrologia 41 (2004) pp136-146

Es mucho más fácil, y equivalente, hablar de este tipo de cosas en términos de potenciales en lugar de fuerzas (suponiendo que tengamos fuerzas irrotacionales). Además, la siguiente discusión en términos de masa de fotones es en realidad un marco mucho más simple para hablar sobre desviaciones directas de lo postulado.$1/r$potencial de Coulomb que el de Maxwell (por cierto, la expresión de Maxwell (1) también se deriva en el artículo de revisión). En lugar de hablar de una desviación$q$del poder$1/r^{1\pm q}$en la ley del potencial de Coulomb a partir de su potencia postulada como lo hace Maxwell, hablamos de un factor de error multiplicativo$f(r) \approx 1+\epsilon_1\,r\approx e^{\epsilon\,r}$(la aproximación que se mantiene para$r \ll 1/\epsilon$) de modo que asumimos que nuestra ley potencial real es$e^{\epsilon\,r}/r$más bien que$1/r$.

La masa del fotón se haría sentir al cambiar la ecuación de propagación de los potenciales electromagnéticos de la ecuación de onda sin masa a las ecuaciones de Maxwell-Proca (consulte la página de Wikipedia para "Proca Action" ):

dónde$J_\mu$es la fuente de cuatro corrientes para el campo. Entender que la constante de escala$m^2\,c^2/\hbar^2$en el nuevo termino$m^2\,c^2\,A_\mu /\hbar^2$tiene la interpretación de ser una masa, podemos:

1. Haga la observación de que en el espacio libre$\hbar^2 \nabla^2 - \hbar^2 \partial_t^2/c^2$es el operador (observable cuántico) equivalente al cuadrado de la longitud de cuatro impulsos$E^2 /c^2 - |\vec{p}|^2$, que es el término propio (masa en reposo)$m^2 c^2$; o

2. Piense en la solución a la versión de espacio libre de (3) ($J_\mu = 0$) como una descomposición de Fourier en ondas planas: onda plana (número de onda$k$), tiempo armónico (frecuencia$\omega$) las soluciones de (3) están definidas por

• que es, por supuesto$\omega = c\,|k|$cuando la masa es cero, de donde la velocidad del grupo es igual a la velocidad de la fase es igual$c$. pero con distinto de cero$m$, la velocidad de grupo para bajas frecuencias$k \ll m\,c/\hbar$es cero, y un paquete de ondas puede permanecer aproximadamente inmóvil durante un tiempo que es proporcional a la$m$término.

Así que ahora miramos la situación estática ($\partial_t = 0$) para la carga electrostática de modo que (3) se convierte en

y el potencial de Yukawa (2) es la función de Green relevante para esta ecuación, es decir , la solución a

donde podemos construir campos que surgen de distribuciones generales de carga$\rho$por superposición lineal:

Tenga en cuenta que el campo estático en el espacio libre lejos de la carga para cualquier distribución de cargas, cada una con el potencial de Yukawa (2), aún cumple la ecuación del espacio libre

por superposición lineal:$\nabla^2$no se ve afectado por un cambio en el origen o una rotación del sistema de coordenadas relevante. Note que no podríamos decir lo mismo si, digamos, tuviéramos$\Phi\propto 1/r^n$por$n\neq 1$, porque entonces la ecuación diferencial relevante sería:

y el factor$n\,(n-1)/r^2$ciertamente cambia su forma en respuesta a los cambios en el origen. Los potenciales de Coulomb y Yukawa son especiales en la medida en que son la función de Green de ecuaciones diferenciales parciales lineales de coeficiente constante.

Ahora miramos un conductor hueco. Lo primero que se debe tener en cuenta aquí es que los teoremas de unicidad para la ecuación de Laplace y la ecuación potencial estática de Maxwell-Proca funcionan exactamente de la misma manera. Si conocemos el potencial en la frontera$\partial V$de un volumen$V$, entonces si no hay singularidades en$V$, suponemos que había dos soluciones de valor real$\phi_1$y$\phi_2$con el mismo comportamiento en$\partial V$y aplicamos el teorema de la divergencia de Gauss a$\psi\,\nabla \phi$dónde$\phi = \phi_1-\phi_2$(señalando$\phi$en$\partial V$es cero por suposición):

de modo que$\phi$debe ser cero en todo$V$ya que el integrando en el RHS es positivo o cero, es decir , hemos probado la unicidad dado que podemos encontrar una solución en primer lugar. Para un conductor perfecto, cualquier carga en el interior se desplazará hasta que no haya fuerza tangencial a la superficie del conductor ($i.e.$las cargas se mueven con tacto hasta que quedan atadas a la superficie), porque de lo contrario podrían reorganizarse (moviéndose a lo largo de la superficie). Entonces, el campo eléctrico siempre es ortogonal a la superficie de un conductor; este hecho es independiente de la forma de la ley de Coulomb. Entonces, la superficie interna de cualquier conductor hueco es siempre una superficie equipotencial, independientemente de la forma de la ley de la fuerza electrostática (siempre que la fuerza de una carga solitaria se dirija radialmente hacia o desde la carga). Ahora bien, en el caso de la$\Phi = 1/r$potencial, si el potencial en la superficie interior hueca es$\Phi_0$, entonces un potencial constante de$\Phi_0$es una solución de la ecuación de Laplace y, por la discusión anterior, es la única solución que cumple nuestras condiciones de contorno. Asi que$\nabla \Phi = 0$y no hay campo eléctrico dentro del conductor.

Así que ahora hacemos lo mismo para el potencial estático de Maxwell-Proca. Consideramos una esfera hueca de radio$R$y lo cargamos hasta un voltaje monstruoso$\Phi_0$. Entonces, una solución asimétrica no singular del eje de (8) dentro del hueco es:

y, por lo anterior, esta debe ser la única solución. Nótese que, aparte, las soluciones a este problema son las soluciones de la ecuación de Helmholtz, a saber, funciones de Bessel esféricas, pero para números de onda imaginarios, ya que la ecuación de potencial estático de Maxwell-Proca es la ecuación de Helmholtz con un número de onda imaginario.$k$. El campo eléctrico dentro de nuestra esfera es:

supongamos que cargamos una esfera de un metro de radio a un millón de voltios y no medimos ningún campo eléctrico con una sonda justo dentro de la esfera, con una precisión de, digamos, 100 voltios por metro. Entonces, el experimento ha arrojado un límite superior en la masa del fotón de:

Observe también que, según el teorema de unicidad que vimos anteriormente, el resultado experimental no depende de que la esfera sea exactamente esférica. Podemos resolver numéricamente la ecuación de potencial de Maxwell-Proca para esferas distorsionadas y así probar la sensibilidad de nuestro experimento a tales distorsiones.

Las cifras anteriores representan un experimento muy crudo y fácil en un laboratorio moderno de alto voltaje. Como se indica en Wikipedia, el límite de masa de fotones real logrado por este experimento es aproximadamente seis órdenes de magnitud más pequeño que esto ($1.6\times10^{-50}\mathrm{kg}$), el límite de masa de fotones alcanzable por cualquier método actual (observación del plasma galáctico) es aproximadamente trece órdenes de magnitud más pequeño nuevamente ($10^{-63}\mathrm{kg}$) y, por último, como se señala en el artículo de Liang-Cheng Tu y Jun Luo, para el universo actual, la precisión máxima alcanzable para medir la energía (masa) de algo puede calcularse con la desigualdad de Heisenberg$\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$con$\Delta t$establecido en la edad del universo ($4\times10^{17}$segundos), por lo que el límite de masa mínima alcanzable es$\hbar/(2\,c^2\,\Delta t)\approx 10^{-69}\mathrm{kg}$.

¿Se movería el exceso de carga en un conductor a la superficie hasta que el campo eléctrico en el interior sea cero [...]?

Piensa en el mecanismo de ese movimiento por un momento. Las cargas se mueven porque

1. son libres (no obligados)
2. existe un campo distinto de cero, por lo que a partir de$\vec{F}_E = q \vec{E}$una fuerza sobre ellos

Esos dos hechos son independientes de la forma exacta de las interacciones de Coulomb. Así que la respuesta corta es "Sí".

En caso afirmativo, la distribución$\sigma(x,y)$sé diferente [...] ?

Por supuesto. WetSavannaAnimal lo señaló en la dirección de la solución de forma cerrada , pero debe ser intuitivamente claro que para obtener la misma condición (sin campo interior al conductor) con una forma diferente para el campo, la distribución de carga debe ser diferente.

No es que la distribución de carga no sea estrictamente una distribución de superficie y deba escribirse$\rho(\vec{r})$.

Sugerencia a la pregunta (v3): Generalizar la pregunta a un$1/r^s$ley potencial en$n$dimensiones espaciales! Luego, de acuerdo con la respuesta de desbordamiento matemático de Henry Cohn aquí , las cargas se precipitan hacia el límite iff$s\leq n-2$. Entonces, en el ejemplo de OP$(s=2,n=3)$, las cargas no se precipitan al límite, en contraste con el mundo real$(s=1,n=3)$.