Funciones de correlación de temperatura finita en QFT

Supongamos que queremos calcular esta función de correlación ordenada en el tiempo imaginaria para un sistema que interactúa (en la imagen de Heisenberg):

⟨ T A ( τ A ) B ( τ B ) ⟩ = 1 Z T r { T ( mi − β H mi H τ A A ( 0 ) mi a − H τ A mi H τ B B ( 0 ) mi − H τ B ) }

Asumiendo que τ A > τ B podemos eliminar el operador de ordenación temporal T y usando la definición de operador de evolución de tiempo imaginario en la imagen de interacción:

⟨ T A ( τ A ) B ( τ B ) ⟩ = 1 Z T r { mi − β H 0 S ( β , τ A ) A I ( τ A ) S ( τ A , τ B ) B I ( τ B ) S ( τ B , 0 ) }

En los "Métodos de la teoría cuántica de campos" de AGD , se dice que ahora podemos escribir la relación anterior como:

⟨ T A ( τ A ) B ( τ B ) ⟩ = 1 Z T r { mi − β H 0 T ( A I ( τ A ) B I ( τ B ) S ( β , 0 ) ) }

Pero solo es verdad cuando β > τ A , τ B . De hecho, si consideramos una función de correlación de algunos operadores, cada uno en un tiempo arbitrario, entonces la versión de temperatura finita del teorema de Gell-Mann-Low es válida solo si la diferencia de tiempo entre operadores es menor que el tiempo térmico característico -escala del sistema.

  • Mi pregunta es ¿cómo podemos resolver este problema y encontrar la función de correlación perturbativamente?

O tal vez no es un problema y es natural que no podamos encontrar ninguna correlación entre dos (o más) cantidades en un sistema en equilibrio térmico cuando su separación temporal es tan larga que las fluctuaciones térmicas matan cualquier correlación entre ellos.

E incluso si la última afirmación es cierta, no dice que no podamos encontrar la correlación, simplemente dice que debemos usar otro método, por ejemplo, resolver exactamente el hamiltoniano. Ahora supongamos que pudiéramos hacer esto.

  • Qué comportamientos físicos esperamos que tenga (tal vez algún tipo de disminución exponencial a medida que aumenta la diferencia de tiempo con un factor exponencial de mi − | τ A − τ B | β ? O tal vez estoy completamente engañado porque el tiempo imaginario no tiene nada que ver con el tiempo real.

Respuestas (2)

Aunque ya hay una respuesta aceptada, proporcionaré un punto de vista diferente aquí.

Es importante tener en cuenta que el tiempo imaginario es periódico, lo que significa que los campos satisfacen condiciones de contorno periódicas (o antiperiódicas) (la razón es que usamos la integral de trayectoria temporal imaginaria para representar la función de partición, que es T r mi − β H ). Por lo tanto, las funciones de correlación también obedecen al mismo tipo de condiciones periódicas bajo el desplazamiento τ → τ + β , por lo que las frecuencias de Matsubara son 2 π norte β para norte ∈ Z para campos bosónicos, y ( 2 norte + 1 ) π β para campos fermiónicos. Así que si | τ A − τ B | Es mas grande que β , todo lo que necesita hacer es plegarlo sumando o restando varios β 's, tal como se haría con cualquier función periódica.

EDITAR: La periodicidad de la función de Green se puede derivar explícitamente, sin utilizar la representación integral de trayectoria. Después de todo, la representación de la integral de trayectoria está diseñada para ser consistente con el formalismo del operador.

Asumamos A y B son bosónicos, por lo que no necesito hacer un seguimiento del signo fermiónico. Para ser concreto, considere − β < τ < 0 y

GRAMO ( τ ) = ⟨ T A ( τ ) B ( 0 ) ⟩ = T r [ mi − β H B ( 0 ) mi τ H A ( 0 ) mi − τ H ] = T r [ mi τ H A ( 0 ) mi − τ H mi − β H B ( 0 ) ] = T r [ mi − β H mi ( τ + β ) H A ( 0 ) mi − ( τ + β ) H B ( 0 ) ] = ⟨ T A ( τ + β ) B ( 0 ) ⟩ = GRAMO ( τ + β )

Aquí usamos la propiedad cíclica de la traza.

Esto debe fusionarse con la respuesta de higgsss.
De hecho, en la representación de la integral de trayectoria, las variables de campo son periódicas o antiperiódicas en un tiempo imaginario y, por lo tanto, las funciones de correlación tienen la misma periodicidad o antiperiodicidad. Pero creo que se debe enfatizar que la expresión definitoria del OP en sí está mal definida para | τ A − τ B | > β .
@higgsss No estoy de acuerdo. De hecho, se puede mostrar explícitamente que la definición de la función de Green en la forma del operador satisface la condición de periodicidad/antiperiodicidad. Matsubara notó esto por primera vez, ciertamente sin usar la representación de integral de ruta. Actualizaré mi respuesta para incluir una derivación explícita del hecho.
El enunciado correcto para la periodicidad/antiperiodicidad es que si τ ≡ τ A − τ B > 0 , C ( τ − β ) = ± C ( τ ) . En mi respuesta, justifiqué por qué la función de correlación está mal definida si | τ | > β . Si no está de acuerdo con esto, indique por qué falla esta justificación.
En el comentario anterior, el rango de τ debería ser realmente 0 < τ < β .
De hecho, incluso si el espectro de energía está acotado por encima de modo que la ecuación definitoria de OP esté bien definida para | τ | > β , en general no es cierto que C ( τ − β ) = ± C ( τ ) . Esta relación de periodicidad/antiperiodicidad se cumple sólo para 0 < τ < β .
Gracias Meng Cheng. No sé mucho sobre el formalismo de la integral de trayectoria y no sé cómo podemos mostrar la periodicidad de los operadores de campos imaginarios desde el enfoque de cuantización canónica. Su argumento es cierto (como se menciona en AGD) pero creo que no podemos decir nada sobre la periodicidad para el caso de más de dos funciones de correlación de operadores (y no sé si este tipo de funciones de correlación tienen alguna aplicación o no )
@higgsss Estoy de acuerdo contigo. No creo que el argumento que usa la ilimitación del espectro esté completamente justificado, pero de hecho, si solo vamos y calculamos C ( τ ) para τ > β , no es periódico en β . Matemáticamente, tiene sentido definir el valor de C ( τ ) como la continuación periódica de la [ 0 , β ) intervalo, pero puede que no sea necesario ya que para la mayoría de los cálculos prácticos uno va al espacio de frecuencias de todos modos.
Creo que al final del día, nunca necesitamos C ( τ ) para | τ | > β , aunque no tengo una justificación completa para esto.

La pregunta de OP es sobre el comportamiento a largo plazo de las funciones de correlación de tiempo imaginario en general. Pero, de hecho, la función de correlación está mal definida si la diferencia horaria | τ A − τ B | es mayor que la temperatura inversa β .

Para ver esto, supongamos que el hamiltoniano H tiene estados propios { | norte ⟩ } y valores propios asociados { mi norte } , y asumir τ A > τ B . Entonces,

T r { T [ mi − β H mi τ A H A ( 0 ) mi − τ A H mi τ B H B ( 0 ) mi − τ B H ] } = ∑ norte , norte ′ ⟨ norte | mi − β H mi τ A H A ( 0 ) | norte ′ ⟩ ⟨ norte ′ | mi − τ A H mi τ B H B ( 0 ) mi − τ B H | norte ⟩ = ∑ norte , norte ′ mi − ( β − τ A + τ B ) mi norte mi − ( τ A − τ B ) mi norte ′ ⟨ norte | A ( 0 ) | norte ′ ⟩ ⟨ norte ′ | B ( 0 ) | norte ⟩ .

Los valores propios de la energía { mi norte } de un sistema físico están acotados por abajo y no acotados por arriba. Por lo tanto, para ambos mi − ( β − τ A + τ B ) mi norte y mi − ( τ A − τ B ) mi norte ′ portarse bien para todos norte y norte ′ , Debemos tener 0 ≤ τ A − τ B ≤ β . Del mismo modo, si τ A < τ B , tenemos 0 ≤ τ B − τ A ≤ β .

Combinando los dos casos τ A > τ B y τ A < τ B , se deduce que la función de correlación en tiempo imaginario está bien definida solo si

| τ A − τ B | < β .

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