Función Twistor para campo de Coulomb

En un artículo de Penrose en Hughston y Ward "Advances in Twistor Theory", se afirma que la función twistor

F ( Z α ) = registro ⁡ Z 1 Z 2 − Z 0 Z 3 Z 2 Z 3

produce un campo anti-auto-dual de Coulomb. Que yo sepa, este es precisamente un campo de Maxwell con B = − i mi y mi ∝ r / r 3 . Estoy tratando de verificar esto usando la fórmula integral de contorno, pero obtengo un resultado incorrecto. ¿Alguien podría señalar mi error?

Considere un campo de Coulomb anti-auto-dual (ASD) F . Entonces podemos escribir

F a b = F A A ′ B B ′ = ϕ A B ϵ A ′ B ′
por un argumento estándar. En particular entonces
mi X = F 01 = 1 2 ( F 00 ′ 00 ′ − F 00 ′ 11 ′ + F 11 ′ 00 ′ − F 11 ′ 11 ′ ) = − ϕ 01

Usando la fórmula integral usual para la transformada de Penrose tenemos

ϕ 01 ( t , X , y , z ) = 1 2 π i ∮ ρ X ∂ ∂ ω 0 ∂ ∂ ω 1 F ( Z α ) π mi ′ d π mi ′

flexible

ϕ 01 ( t , X , y , z ) = 1 2 π i ∮ π 0 ′ π 1 ′ ( X 10 ′ π 0 ′ 2 + ( X 11 ′ − X 00 ′ ) π 0 ′ π 1 ′ − X 01 ′ π 1 ′ 2 ) 2 π mi ′ d π mi ′

Ahora eligiendo coordenadas locales π mi ′ = ( 1 , ξ ) y recordando que

( X 00 ′ X 01 ′ X 10 ′ X 11 ′ ) = 1 2 ( t + X y + i z y − i z t − X )

obtenemos

ϕ 01 = 1 2 π i ∮ d ξ ξ ( 1 / 2 ( y − i z ) + 2 X ξ − 1 / 2 ( y + i z ) ξ 2 ) 2

que tiene polos dobles en

ξ = − 2 X ± 2 X 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 2 ( y + i z ) = X ∓ r y + i z

denote estos ξ 1 y ξ 2 . Entonces tenemos (¡ error aquí, muy obviamente, en retrospectiva! )

ϕ 01 ( t , X , y , z ) = 1 2 π i ∮ d ξ ξ ( ξ − ξ 1 ) 2 ( ξ − ξ 2 ) 2

El residuo en ξ 1 es

r 1 = ρ ξ 1 d d ξ ξ ( ξ − ξ 2 ) 2 = 1 ( ξ 1 − ξ 2 ) 2 − 2 ξ 1 ( ξ 1 − ξ 2 ) 3 = ξ 1 − ξ 2 − 2 ξ 1 ( ξ 1 − ξ 2 ) 3 = − X ( y + i z ) 2 2 r 3

Ahora es manifiesto que ninguna integral de contorno reproducirá el campo de Coulomb requerido. ¿Qué he hecho mal? Una pista sería muy apreciada. ¡Muchas gracias de antemano!

(PD: ¡Disculpas por la extensión de esta pregunta! También disculpas por la publicación cruzada de MathOveflow, ¡tengo la sensación de que es más probable que encuentre una respuesta aquí!)

Respuestas (2)

Tu primer error es

mi X = F 01 = ϕ 01
Aparentemente ha confundido los índices de espinor y vector aquí. La identidad mi X = F 01 se mantiene si 0 , 1 se interpretan como los índices vectoriales con cuatro valores posibles correspondientes a 0123 = t X y z . Pero entonces no puedes escribir que es igual a ϕ 01 porque este último tiene los índices de espinor con dos valores posibles. Para transformarlos entre sí, necesitas el spintensor. σ A B ¯ m o cualquiera que sea su símbolo para ello. No es cierto que sólo un componente de la σ spintensor no se desvanece para cada m .

Podrías haber visto este error al notar que tu "traducción" de ϕ 01 sólo "encendía" los componentes del campo eléctrico. Pero como tú mismo dices, la fórmula para F m v en términos de ϕ A B crea un campo anti-auto-dual para cualquier valor de ϕ A B . Se sigue que en términos de mi i , B i , todos los componentes de ϕ A B son combinaciones de las componentes del vector mi + i B (Espero que mi signo relativo esté de acuerdo con tus convenciones). Del mismo modo, los componentes de mi − i B estaría codificado en el término extra ϕ A ¯ B ¯ si lo agregaste.

En particular, sus convenciones para las rotaciones son tales que los componentes de los spintensores son estados propios de j X que gira el y z -plano (vea la matriz después de "recordar eso" en su pregunta). El componente ϕ 01 que calculó contiene el valor "promedio" de j X cual es j X = 0 ; los otros componentes "extremos" ϕ 00 y ϕ 01 llevar j X = ± 1 .

el componente de mi + i B con j X = 0 es claramente un múltiplo de mi X + i B X . Así que esta es la combinación que estabas calculando por tu integral de contorno si fuera correcta. (Los componentes ϕ 00 y ϕ 11 son proporcionales a la y ± i z componentes de mi + i B ; hay cuatro términos en cada uno.) Sin embargo, incluso el análisis dimensional es suficiente para ver que su evaluación de la integral no fue correcta. La variable ξ es adimensional (proporción de dos componentes de un espinor) y también lo es la medida d ξ . Pero si nos fijamos en la fórmula integral para ϕ 01 y rastrear las cosas dimensionales tales como X , y , z , ves que ϕ 01 va como 1 / yo mi norte gramo t h 2 , al igual que lo que se espera para el r → / r 3 resultado. En cambio, los residuos reclamados son adimensionales; este resultado está errado por dos potencias de la longitud.

Cualquiera que sea la forma en que obtuviste los "residuos" tenía que ser incorrecta. Sospecho que cometiste algún error, no identificable porque no mostraste tu cálculo de los residuos, relacionado con residuos de singularidades de orden superior. Probablemente algún error de signo en el poder del agregado z k en la integral de contorno ∮ d z , o diferenciación en lugar de integración, no lo sé. Un procedimiento de integración válido no podría haber arrojado un resultado que viole el análisis dimensional. Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_(complex_analysis)#Limit_formula_for_higher_order_poles

para conocer la forma correcta de calcular residuos de singularidades superiores.

Uno puede ver por argumentos generales, no solo por cálculos específicos, que la integral tiene que producir el resultado proporcional a lo que espera.

¡Muchas gracias por tu respuesta! No estoy de acuerdo con usted acerca de los índices, no creo que los haya confundido. Estaba usando implícitamente el spintensor. He ampliado mi cálculo en la pregunta anterior, ¿estás de acuerdo conmigo ahora? Gracias por señalar el análisis dimensional, debería haberlo notado. Echaré otro vistazo a cómo calculé los residuos y lo agregaré a la pregunta si todavía no puedo ver el error.
He agregado mi cálculo para los residuos y, aunque ahora sé que está mal, ¡no puedo ver el error! ¿Puedes ver un error obvio? ¡Estoy seguro de que debe ser algo trivial que mi cerebro se niega a ver! Muchas gracias de nuevo.
Estimado @EdwardHughes, mezcló los dos tipos de índices; de lo contrario, la traducción de los componentes de ϕ A B en combinaciones de mi i y B i solo le daría las combinaciones duales anti-yo, es decir, componentes de mi + i B . ... Su "cálculo de los residuos" es totalmente incorrecto: ¡no ha utilizado la función cuyos residuos está calculando en absoluto! ;-) Lo que deberías tener ξ -diferenciado no es solo la expresión aburrida y universal (independiente de la función) ξ / ( ξ − ξ 2 ) 2 pero ( ξ − ξ ) 2 F ( z ) dónde F ( z ) es la función que estás integrando.
¿Por qué no usas la fórmula correcta de en.wikipedia.org/wiki/… en lugar de la fórmula ingenua y totalmente inválida que usaste?
Tienes razón, solo obtengo las combinaciones anti-auto-dual. Es por eso que dije "un campo ASD Coulomb" en la pregunta. Lo he aclarado por si las siglas ASD son confusas. Me temo que no sé de dónde vienes con respecto a la integración del contorno. En efecto ( ξ − ξ 1 ) 2 F ( ξ ) = ξ / ( ξ − ξ 2 ) 2 según mis cálculos. He agregado en un paso anterior que muestra esto. ¿He cometido algún otro error? Muchas gracias por su ayuda, y lo siento de nuevo si me he perdido algo simple.
Ignórame, ¡lo he resuelto ahora! ¡Acabo de factorizar mi error cuadrático! He actualizado la pregunta para que sea correcta. No creas que no me di cuenta inmediatamente, pero, de nuevo, ¡los errores simples a veces son los más difíciles de detectar! Gracias por tu ayuda.
De hecho, revertiré la pregunta y la pondré como respuesta, ¡más acorde con el estilo del sitio!
Excelente escuchar buenas noticias, @EdwardHughes

Simplemente factoricé mal la cuadrática, sabía que era un error estúpido. ¡Estoy asombrado de que no lo vi, pero aún más asombrado de que nadie más lo haya hecho! Aquí está la solución correcta.

ϕ 01 ( t , X , y , z ) = 1 2 π i ∮ d ξ ξ ( X 01 ′ ) 2 ( ξ − ξ 1 ) 2 ( ξ − ξ 2 ) 2

El residuo en ξ 1 es

r 1 = ρ ξ 1 d d ξ ξ ( X 01 ′ ) 2 ( ξ − ξ 2 ) 2 = 1 ( ξ 1 − ξ 2 ) 2 ( X 01 ′ ) 2 − 2 ξ 1 ( X 01 ′ ) 2 ( ξ 1 − ξ 2 ) 3 = ξ 1 − ξ 2 − 2 ξ 1 ( X 01 ′ ) 2 ( ξ 1 − ξ 2 ) 3 = − X ( y + i z ) 2 2 r 3 ( y + i z ) 2

Esta es ahora la respuesta correcta :).

Función Twistor para campo de Coulomb
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v