Constantes de integración en las ecuaciones de Maxwell (¿ambigüedad?)

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Constantes de integración en las ecuaciones de Maxwell (¿ambigüedad?)

Física
integración
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell
electrodinámica-clásica

Socob

En electrodinámica clásica, si el campo eléctrico (o campo magnético, cualquiera de los dos) es completamente conocido (por simplicidad: en el vacío con $\rho = 0, \vec{j} = 0$ ), ¿es posible calcular sin ambigüedades el otro campo a partir de las ecuaciones de Maxwell?

Por ejemplo, supongamos que $\vec{E}(\vec{r}, t)$ se conoce con $\vec{E} = 0$ . De las ecuaciones de Maxwell sabemos que

\nabla \times \vec{mi} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{B} = - \int \nabla \times \vec{mi} d t

$\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{B} = - \int \nabla \times \vec{E} \; \mathrm{d}t$ Sin embargo, esto (por lo que puedo decir) resulta en

\vec{B} (\vec{r}, t) = (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3} \end{matrix})

$\vec{B}(\vec{r}, t) = \left( \begin{smallmatrix} C_1\\C_2\\C_3 \end{smallmatrix} \right)$ con constantes desconocidas

C_{i}

$C_i$ . Este resultado satisface las ecuaciones de Maxwell, ya que

\nabla \cdot (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3} \end{matrix}) = 0 y \nabla \times (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3} \end{matrix}) = ε_{0} m_{0} \frac{\partial \vec{mi}}{\partial t} = 0

$\nabla \cdot \left( \begin{smallmatrix} C_1\\C_2\\C_3 \end{smallmatrix} \right) = 0 \quad\text{ and }\quad \nabla \times \left( \begin{smallmatrix} C_1\\C_2\\C_3 \end{smallmatrix} \right) = \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0$

¿Significa esto realmente que si se nos da $\vec{E}$ y las ecuaciones de Maxwell sin fuente que no podemos determinar si no hay ningún campo magnético o si hay un campo magnético constante que llena todo el espacio usando la teoría?

Nota: hago esta pregunta porque en mi clase de física, al considerar ondas electromagnéticas planas de la forma $\vec{E} = \vec{E}_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$ , a menudo se nos pedía que calculáramos $\vec{B}$ dado el campo eléctrico de la onda utilizando las ecuaciones de Maxwell. Nos preguntamos acerca de las constantes de integración, pero como siempre se asumió que los campos son de la forma

\vec{mi} (\vec{r}, t) = {\vec{mi}}_{0} {mi}^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)}

$\vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$

\vec{B} (\vec{r}, t) = {\vec{B}}_{0} {mi}^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)}

$\vec{B}(\vec{r}, t) = \vec{B}_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}$ las constantes se fijaron naturalmente a cero. Sin embargo, me pregunto si esta suposición es segura y cuál es el razonamiento detrás de ella.

Respuestas (3)

Constantes de integración en las ecuaciones de Maxwell (¿ambigüedad?)

tobías · Answer 1

La declaración más importante en esta respuesta a su pregunta es: Sí, puede superponer un campo magnético constante. El campo combinado sigue siendo una solución de las ecuaciones de Maxwell. $\def\vB{{\vec{B}}}$ $\def\vBp{{\vec{B}}_{\rm p}}$ $\def\vBq{{\vec{B}}_{\rm h}}$ $\def\vE{{\vec{E}}}$ $\def\vr{{\vec{r}}}$ $\def\vk{{\vec{k}}}$ $\def\om{\omega}$ $\def\rot{\operatorname{rot}}$ $\def\grad{\operatorname{grad}}$ $\def\div{\operatorname{div}}$ $\def\l{\left}\def\r{\right}$ $\def\pd{\partial}$ $\def\eps{\varepsilon}$ $\def\ph{\varphi}$

Dado que está utilizando ondas planas, ni siquiera puede hacer que los campos decaigan lo suficientemente rápido a medida que aumenta la distancia al origen. Eso haría que la solución de las ecuaciones de Maxwell fuera única para propiedades espaciales dadas (como $\mu,\varepsilon,\kappa$ , y tal vez carga espacial $\rho$ y una densidad de corriente impresa $\vec{J}$ ). Pero, en tu caso no tendrías un generador para el campo. Su configuración es solo el espacio vacío. Si obliga al campo a decaer lo suficientemente rápido con la distancia creciente, solo obtiene cero amplitudes $\vec{E}_0=\vec{0}$ , $\vec{B}_0=\vec{0}$ por tus olas. Lo cual es ciertamente una solución de las ecuaciones de Maxwell, pero ciertamente no es lo que quieres tener.

Desde mi punto de vista, eres demasiado rápido con las constantes de integración. Pierde algo de generalidad al ignorar que estas constantes realmente pueden depender de las coordenadas espaciales.

Veamos lo que realmente se puede deducir de $\vB(\vr,t)$ de las ecuaciones de Maxwell para un determinado $\vE(\vr,t)=\vE_0 \cos(\vk\vr-\om t)$ en espacio libre.

Al principio, una recapitulación: calculamos un campo B particular $\vBp$ que satisface las ecuaciones de Maxwell:

\begin{aligned} \nabla \times ({\vec{mi}}_{0} porque (\vec{k} \vec{r} - ω t)) & = - \partial_{t} {\vec{B}}_{pag} (\vec{r}, t) \\ (\nabla porque (\vec{k} \vec{r} - ω t)) \times {\vec{mi}}_{0} & = - \partial_{t} {\vec{B}}_{pag} (\vec{r}, t) \\ - \vec{k} \times {\vec{mi}}_{0} pecado (\vec{k} \vec{r} - ω t) = - \partial_{t} {\vec{B}}_{pag} (\vec{r}, t) \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \nabla\times\l(\vE_0\cos(\vk\vr-\om t)\r)&=-\pd_t \vBp(\vr,t)\\ \l(\nabla\cos(\vk\vr-\om t)\r)\times\vE_0&=-\pd_t\vBp(\vr,t)\\ -\vk\times\vE_0\sin(\vk\vr-\om t) = -\pd_t \vBp(\vr,t) \end{array}$ Esto nos lleva con

\partial_{t} \cos (\vec{k} \vec{r} - ω t) = ω \sin (\vec{k} \vec{r} - ω t)

$\pd_t \cos(\vk\vr-\om t) = \om \sin(\vk\vr-\om t)$ al ansatz

{\vec{B}}_{pag} (\vec{r}, t) = - \vec{k} \times {\vec{mi}}_{0} porque (\vec{k} \vec{r} - ω t) / ω .

$\vBp(\vr,t) = -\vk\times\vE_0 \cos(\vk\vr-\om t)/\om.$ La ecuación de divergencia

div {\vec{B}}_{p} (\vec{r}, t) = - \vec{k} \cdot (\vec{k} \times {\vec{E}}_{0}) \cos (\vec{k} \vec{r} - ω t) / ω = 0

$\div\vBp(\vr,t)=-\vk\cdot(\vk\times\vE_0)\cos(\vk\vr-\om t)/\om=0$ está satisfecho y la libertad de carga espacial

0 = div \vec{E} (\vec{r}, t) = \vec{k} \cdot {\vec{E}}_{0} \sin (\vec{k} \vec{r} - ω t)

$0=\div\vE(\vr,t) = \vk\cdot\vE_0\sin(\vk\vr-\om t)$ entrega eso

\vec{k}

$\vk$ y

{\vec{E}}_{0}

$\vE_0$ son ortogonales. Lo último que hay que comprobar es la ley de Ampere.

\begin{aligned} putrefacción {\vec{B}}_{pag} & = m_{0} ε_{0} \partial_{t} \vec{mi} \\ \vec{k} \times (\vec{k} \times {\vec{mi}}_{0}) pecado (\vec{k} \vec{r} - ω t) / ω & = - m_{0} ε_{0} {\vec{mi}}_{0} pecado (\vec{k} \vec{r} - ω t) ω \\ (\vec{k} \underset{0}{\underset{⏟}{(\vec{k} \cdot {\vec{mi}}_{0})}} - {\vec{mi}}_{0} {\vec{k}}^{2}) pecado (\vec{k} \vec{r} - ω t) / ω & = - m_{0} ε_{0} {\vec{mi}}_{0} pecado (\vec{k} \vec{r} - ω t) ω \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \rot\vBp&=\mu_0 \eps_0 \pd_t\vE\\ \vk\times(\vk\times\vE_0)\sin(\vk\vr-\om t)/\om &= -\mu_0\eps_0 \vE_0 \sin(\vk\vr-\om t) \om\\ \biggl(\vk \underbrace{(\vk\cdot\vE_0)}_0-\vE_0\vk^2\biggr)\sin(\vk\vr-\om t)/\om&= -\mu_0\eps_0 \vE_0 \sin(\vk\vr-\om t) \om \end{array}$ que se satisface por

\frac{ω}{| \vec{k} |} = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ε_{0}}} = c_{0}

$\frac{\omega}{|\vk|} = \frac1{\sqrt{\mu_0\eps_0}}=c_0$ (la velocidad de la luz).

Ahora, miramos qué modificaciones $\vB(\vr,t)=\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr,t)$ satisfacer las leyes de Maxwell.

\begin{aligned} \nabla \times \vec{mi} (\vec{r}, t) & = - \partial_{t} ({\vec{B}}_{pag} (\vec{r}, t) + {\vec{B}}_{h} (\vec{r}, t)) \\ \nabla \times \vec{mi} (\vec{r}, t) & = - \partial_{t} {\vec{B}}_{pag} (\vec{r}, t) - \partial_{t} {\vec{B}}_{h} (\vec{r}, t) \\ 0 & = - \partial_{t} {\vec{B}}_{h} (\vec{r}, t) \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \nabla\times\vE(\vr,t) &= -\pd_t\l(\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr,t)\r)\\ \nabla\times\vE(\vr,t) &= -\pd_t\vBp(\vr,t)-\pd_t\vBq(\vr,t)\\ 0 &= -\pd_t\vBq(\vr,t) \end{array}$ Eso significa que la modificación

{\vec{B}}_{h}

$\vBq$ es independiente del tiempo. solo escribimos

{\vec{B}}_{h} (\vec{r})

$\vBq(\vr)$ en lugar de

{\vec{B}}_{h} (\vec{r}, t)

$\vBq(\vr,t)$ . La ecuación de divergencia para el campo B modificado es

0 = div ({\vec{B}}_{p} (\vec{r}, t) + {\vec{B}}_{h} (\vec{r})) = \underset{= 0}{\underset{⏟}{div ({\vec{B}}_{p} (\vec{r}, t))}} + div ({\vec{B}}_{h} (\vec{r}))

$0=\div\l(\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr)\r)=\underbrace{\div\l(\vBp(\vr,t)\r)}_{=0} + \div\l(\vBq(\vr)\r)$ diciéndonos que la modificación

{\vec{B}}_{h} (\vec{r})

$\vBq(\vr)$ también debe ser fuente libre:

división {\vec{B}}_{h} (\vec{r}) = 0

$\div\vBq(\vr) = 0$ La ley de Ampere es

\begin{aligned} \nabla \times ({\vec{B}}_{pag} (\vec{r}, t) + {\vec{B}}_{h} (\vec{r})) & = m_{0} ε_{0} \partial_{t} \vec{mi}, \\ putrefacción ({\vec{B}}_{h} (\vec{r})) & = 0. \end{aligned}

$\begin{array}{rl} \nabla\times(\vBp(\vr,t)+\vBq(\vr)) &= \mu_0\eps_0\pd_t \vE,\\ \rot(\vBq(\vr))&=0. \end{array}$ El espacio libre es simplemente una ruta conectada. De este modo,

rot ({\vec{B}}_{h} (\vec{r})) = 0

$\rot(\vBq(\vr))=0$ implica que todo admisible

{\vec{B}}_{h}

$\vBq$ se puede representar como gradiente de un potencial escalar

{\vec{B}}_{h} (\vec{r}) = - grad φ (\vec{r})

$\vBq(\vr)=-\grad\ph(\vr)$ .

De $\div\vBq(\vr) = 0$ de ahí se sigue que este potencial debe satisfacer la ecuación de Laplace

0 = - división ({\vec{B}}_{h} (\vec{r})) = división graduado φ = Δ φ

$0=-\div(\vBq(\vr)) = \div\grad\ph = \Delta\ph$

Eso es todo lo que nos dicen las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre con un campo E predefinido y sin condiciones de contorno:

El campo B se puede modificar a través del gradiente de cualquier potencial armónico .

Lo que pasa es que con problemas en el espacio infinito uno a menudo se aproxima a alguna configuración con una extensión finita que está lo suficientemente lejos de cosas que podrían influir significativamente en la medición.

¿Cómo se producen las ondas electromagnéticas planas?

Un generador relativamente simple de ondas electromagnéticas es una antena dipolo. Estos no generan ondas planas sino ondas curvas esféricas como se muestra en la siguiente imagen de la página de Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Antenna_%28radio%29 .

Ondas electromagnéticas de un dipolo.

Sin embargo, si está lejos del dipolo emisor y no hay superficies reflectantes a su alrededor, en su vecindad más cercana la onda electromagnética se verá como una onda plana y puede tratarla como tal con resultados suficientemente exactos para su propósito práctico.

En esta importante aplicación, la onda plana es una aproximación donde la superposición con algún campo electromagnético constante no es realmente apropiada.

Solo tengamos en cuenta que si en alguna aplicación especial necesitamos superponer un campo constante, se nos permite hacerlo.

No estoy completamente seguro de entender a lo que te refieres. Digamos que incluimos el generador, por ejemplo, una antena dipolo, en la configuración. Ahora lo único que se nos da es el campo eléctrico generado por la antena. Dado eso, ¿es posible determinar cuál es el campo magnético generado, o seguirá habiendo una ambigüedad en el sentido de que puede agregar constantes arbitrarias y seguirá siendo una solución? Quiero decir, por supuesto, uno podría argumentar que no hay razón para que un campo constante adicional esté allí "de la nada", pero ¿puedes determinar eso solo a partir de las ecuaciones?
Sí, puedes superponer un campo magnético constante con $\operatorname{rot}\vec H=\vec0$ y $\operatorname{div}\vec B=0$ . Con $\mu=\mu_0$ cada $\vec H=-\operatorname{grad}\phi$ para cualquier función armónica $\phi$ es admisible. El campo no surge de la nada, pero la fuente del campo simplemente no está en el vecindario considerado. Por un instante podría ser el campo magnético de la Tierra.

ProfRob · Answer 2

La respuesta es no: no puede determinar completamente el campo magnético del campo eléctrico (o viceversa) sin condiciones de contorno. La razón es, como bien supones, que existe una "constante" de integración, que solo es constante con respecto al tiempo, no a la posición.

Este campo estacionario adicional puede ser producido por un potencial escalar independiente del tiempo con un gradiente distinto de cero. La causa raíz de esta ambigüedad es que en las ecuaciones de Maxwell, el campo E se genera a partir de la derivada parcial del campo B respecto al tiempo y viceversa. Entonces, un campo B estacionario no tiene influencia en el campo E y viceversa.

Pero sabemos esto por el sentido común: la presencia del campo magnético de la Tierra no tiene influencia en un haz de luz que hago brillar en el aula: los campos E y B dependientes del tiempo asociados con la onda EM todavía están en las direcciones y tienen la misma amplitud que tendrían si el campo magnético de la Tierra no estuviera allí.

hyportnex · Answer 3

Para una antena de tamaño finito, debe imponer la condición de radiación de Sommerfeld http://en.wikipedia.org/wiki/Radiation_condition . Una constante B no satisface esto y obviamente no tiene energía finita. Si bien puede agregar una constante B a la ecuación, se excluye por estos motivos como no física. Las ondas planas tampoco son físicas, no solo porque tienen una energía infinita, sino que solo un radiador de tamaño infinito puede generarlas.

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