Encuentre SDE satisfecho por la transformación de la solución a un SDE diferente

Suponer que X t satisface d X t = Y t d t + Y t d W t , dónde d Y t = Y t d W t . ¿Qué podemos decir de la SDE que en ⁡ ( X t ) + t 2 resuelve? No estoy seguro de cómo usar el SDE que X t resuelve para encontrar el SDE que en ⁡ ( X t ) + t 2 resuelve En general, ¿hay alguna forma de encontrar el SDE que resuelve la transformación del proceso?

Yo sé eso d Y t = Y t d W t es un GBM sin deriva, lo que significa Y t = Y 0 mi − 1 2 t + W t . Entonces nosotros tenemos d X t = Y 0 mi − 1 2 t + W t ( d t + d W t ) . ¿Hay alguna manera fácil de resolver esto? No estoy seguro de cómo aplicar de manera eficiente el lema de Ito en este caso. Una vez que una solución a X t se encuentra, ¿aplicaríamos entonces esa transformación y encontraríamos el SDE que resuelve? ¿Estoy complicando demasiado las cosas? No estoy seguro de si hay una mejor manera, y todavía estoy atascado tratando de resolver X t . ¡Cualquier ayuda es apreciada!

Respuestas (1)

Dejar Z t = t 2 + en ⁡ ( X t ) y denote la variación cuadrática por ⟨ ⋅ ⟩ . por Ito,

d Z t = d ( t 2 + en ⁡ ( X t ) ) = d t 2 + d X t X t − ⟨ X t ⟩ X t 2 d W t
Ahora tenga en cuenta que
X t = mi Z t − t 2 d X t = Y t ( d t + d W t ) ⟨ X t ⟩ = Y t
De este modo
d Z t = d t 2 + Y t mi 1 2 t − Z t ( d t + d W t ) − Y t mi t − 2 Z t d W t = ( 1 2 + Y t mi 1 2 t − Z t ) d t + Y t mi 1 2 t − Z t ( 1 − mi 1 2 t − Z t ) d W t

Ya lo has notado Y t = Y 0 mi W t − t 2 , por lo que podemos sustituir eso para obtener una respuesta un poco mejor:

d Z t = ( 1 2 + Y 0 mi W t − Z t ) d t + mi W t − Z t ( 1 − mi 1 2 t − Z t ) d W t

¡Muchas gracias por tu respuesta! ¿Hay ahora una manera de resolver este SDE dado que Y t = Y 0 mi − 1 2 t + W t ?
@cosmicflair: No, no veo la manera. No todos los SDE tienen una solución expresable. Extrañé eso de sustituir Y t Sin embargo, da un mejor resultado final, así que lo edité en mi respuesta.
porque dices que es ⟨ X ⟩ t = Y t ? ¿no es así? ⟨ X ⟩ t = ∫ 0 t Y s 2 d s ?
@Sebastian: No, esa es (más o menos) la L 2 norma. La variación cuadrática es sorber { t j } j ⊢ [ 0 , t ] ∑ j ( X t j + 1 − X t j ) 2 .
@JacobManaker: en su último comentario, proporcionó la definición de variación cuadrática que, por cierto, no usa en su respuesta. También hay una caracterización que dice que el proceso de variación cuadrática del proceso X es el único proceso tal que X 2 − ⟨ X ⟩ es una martingala. Usando esta caracterización y la isometría de Ito es fácil mostrar que ⟨ X ⟩ t = ∫ 0 t Y s 2 d s .
@JacobManaker: también puede verlo aquí: en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_variation#It%C3%B4_processes o cualquier libro sobre el tema
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