Función Beta en el Modelo Estándar

En el libro de texto de Srednicki "Teoría cuántica de campos" , el problema 89.4 nos pide que calculemos los términos principales en la función beta para cada uno de los tres acoplamientos de calibre del modelo estándar. Estos acoplamientos de calibre son$g_{3}$,$g_{2}$y$g_{1}$, correspondiente a la$SU(3)$,$SU(2)$, y$U(1)$grupos de calibre respectivamente. La respuesta se da en la sección 97 del mismo libro:

Con los campos usuales del Modelo Estándar, encontramos a partir de nuestros resultados en las secciones 66 y 73 que las funciones beta de un lazo para los tres acoplamientos de calibre están dadas por

$$\begin{equation} \mu \frac{d}{d\mu}g_{i} = \frac{b_{i}}{16\pi^{2}} g_{i}^{3} + O(g_{i}^{5}), \tag{97.26} \end{equation}$$ con $$\begin{equation} b_{3} = -11 + \frac{4}{3}n, \tag{97.27} \end{equation}$$ $$\begin{equation} b_{2} = -\frac{22}{3} + \frac{4}{3}n + \frac{1}{6}, \tag{97.28} \end{equation}$$ $$\begin{equation} b_{1} = \frac{20}{9}n + \frac{1}{6}, \tag{97.29} \end{equation}$$ dónde$n = 3$es el número de generaciones; el$+\frac{1}{6}$contribución a$b_{2}$y$b_{1}$son de la$\varphi$(Higgs) campo.

mi pregunta es con$b_{1}$[equivalente (97.29)]. En la sección 66, la función beta para$e$(constante de acoplamiento) en QED se deriva para ser

Computar$b_{1}$, Pongo$Q_{\nu_{e}} = 0, Q_{e} = -1, Q_{\overline{e}} = +1, Q_{u} = \frac{2}{3}, Q_{d} = -\frac{1}{3}, Q_{\overline{u}} = - \frac{2}{3}, Q_{\overline{d}} = \frac{1}{3}$, y$Q_{\varphi_{2}} = \frac{1}{2}, Q_{\varphi_{4}} = \frac{1}{2}$en la ecuación (66.29). También me di cuenta de que$g_{1} = e/\cos\theta_{w}$, y agregó un$n$en el primer término en el paréntesis en eq. (66.29) para dar cuenta de tres generaciones. Sin embargo, tengo

También noté que la ec. (66.29) [que se supone que conduce a la ec. (97.29) cuando se aplica al cálculo de la función beta en el modelo estándar] se deriva del lagrangiano en QED (sección 66), que es diferente del lagrangiano en la teoría de norma no abeliana (sección 73) de la cual las ecs. (97.27) y (97.28) están derivadas. ¿Es esta la razón de la discrepancia entre la ec. (66.29) y ec. (97.29)? Sin embargo, en el libro de Srednicki, el autor no notó esta discrepancia sino que simplemente combinó los resultados de las secciones 66 y 73 en una ecuación unificada [eq. (97.26)], lo que implica que la ec. (66.29) se puede utilizar para calcular la función beta en el modelo estándar. ¿Hay algo oculto y necesita ser ajustado y aclarado aquí?