Fuerzas que ejercen torque sobre un cuerpo rígido en rotación cuando el momento angular no es paralelo a la velocidad angular

En el ejemplo citado en la pregunta, el centro de masa de la barra gira sobre el eje de pivote. Es necesario aplicar alguna fuerza externa a la barra para que eso suceda. Suponiendo una velocidad angular constante, esta fuerza se dirige radialmente hacia adentro desde el centro de masa hacia el eje. Desde la perspectiva de un punto$P$en el eje de pivote pero a cierta distancia$d$desde el eje de la barra, esta fuerza también da como resultado un par.

Entonces, ¿de dónde viene esta fuerza? Obviamente, proviene del eje que mantiene la barra girando fuera del centro.

Es por eso que debe asegurarse de que los neumáticos de su automóvil estén equilibrados.

Tienes que abordar los problemas sistemáticamente, y no intuitivamente. Como dije en una respuesta anterior (aceptada), resuelva todo en el centro de masa y solo al final transfiera las cantidades a un punto diferente (como P ) para obtener los resultados que desea.

Comienzo con la cinemática. Usar$\ell_1$y$\ell_2$para las distancias horizontales y$h$para la altura vertical sobre el punto P .

$$\begin{aligned} \vec{r}_{1C} & = \begin{pmatrix}-\ell_1 & h & 0 \end{pmatrix} & \vec{r}_{2C} &= \begin{pmatrix} \ell_2 & h & 0 \end{pmatrix}\\ \vec{\omega} & = \begin{pmatrix} 0&0& \Omega \end{pmatrix} & \vec{\alpha} & = \begin{pmatrix} 0&0& 0 \end{pmatrix}\\ \vec{v}_{1C} & = \begin{pmatrix} 0&0&\Omega \ell_1 \end{pmatrix} & \vec{v}_{2C} & = \begin{pmatrix} 0&0&-\Omega \ell_2 \end{pmatrix} \\ \vec{a}_{1C} & = \begin{pmatrix}\Omega^2 \ell_1&0&0 \end{pmatrix} & \vec{a}_{2C} & = \begin{pmatrix} -\Omega^2 \ell_2&0&0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Ahora encuentre el momento en el (los) centro (s) de masa

$$\begin{aligned} \vec{p}_{1C} & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \ell_1 \Omega \end{pmatrix} & \vec{p}_{2C} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -m \ell_2 \Omega \end{pmatrix} \\ \vec{L}_{1C} & = \vec{0} & \vec{L}_{2C} & = \vec{0} \end{aligned}$$

_{Tenga en cuenta que las masas puntuales no tienen momento angular.}

El soporte de cada masa consta de dos fuerzas y un momento de torsión. Estos se definen en los soportes y deben transferirse a los centros de masa.

$$\begin{aligned} \vec{F}_1 & = \begin{pmatrix} R_{1x} & R_{1y} & 0 \end{pmatrix} & \vec{F}_2 & = \begin{pmatrix} -R_{2x} & R_{2y} & 0 \end{pmatrix} \\ \vec{M}_1 & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\tau_1 \end{pmatrix} & \vec{M}_2 & = \begin{pmatrix} 0&0& \tau_2 \end{pmatrix} \\ \vec{M}_{1C} & = \begin{pmatrix} 0& 0 & \ell_1\,R_{1y}-\tau_1 \end{pmatrix} & \vec{M}_{2C} & = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \tau_2 - \ell_2\,R_{2 y} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Este es el momento que hace girar los vectores de momento.

Las ecuaciones de movimiento son

$$\begin{aligned} \vec{F}_{1C} - m g \hat{j} & = m \vec{a}_{1C} & \vec{F}_{2C} - m g \hat{j} & = m \vec{a}_{2C} \\ \vec{M}_{1C} &= I_{1C} \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times I_{1C} \vec{\omega} = \vec{0} & \vec{M}_{2C} &= I_{2C} \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times I_{2C} \vec{\omega} = \vec{0} \end{aligned}$$

Cada momento de inercia de masa con respecto al centro de masa es cero para una masa puntual. Desde$\vec{\alpha}=\vec{0}$el lado derecho de la ecuación del torque es cero. El resultado son las fuerzas de apoyo como

$$\begin{aligned} R_{1x} &= m \ell_1 \Omega^2 & R_{1y} & = m \ell_2 \Omega^2 \\ R_{1y} & = m g & R_{2y} &= m g \\ \tau_1 &= m g \ell_1 & \tau_2 &= m g \ell_2 \end{aligned}$$

Como puede ver, estas fuerzas son distintas de cero. Las fuerzas horizontales mantienen las masas moviéndose en círculos, las fuerzas verticales reaccionan al peso y los momentos de torsión también soportan el peso. De todo esto se ve que la ubicación de P no importa. El valor de$h$no aparece en ningún resultado.