Demostrar que el momento angular se conserva para una partícula que se mueve en un campo de fuerza central F⃗ =ϕ(r)r⃗ F→=ϕ(r)r→\vec F =\phi(r) \vec r

Question

Demostrar que el momento angular se conserva para una partícula que se mueve en un campo de fuerza central F⃗ =ϕ(r)r⃗ F→=ϕ(r)r→\vec F =\phi(r) \vec r

joebevo

Un problema que estoy tratando de resolver es el siguiente:

Una partícula se mueve en un campo de fuerza dado por $\vec F =\phi(r) \vec r$ . Demostrar que el momento angular de la partícula con respecto al origen es constante.

Lo configuré de la siguiente manera:

$\vec F = m {d^2\vec r \over dt^2}$

$\vec v = \int {\frac {\vec F}{m} }\ dt = \int {\frac {\phi(r) \vec r}{m} }\ dt$

que es igual a:

${\frac {\phi(r) t \vec r}{m} } + c$

(No estoy seguro de lo que estoy haciendo en este momento. ¿Es correcta mi expresión integrada?)

Suponiendo que lo es, obtenemos:

Momento angular $L = m (\vec r \times \vec v) = \vec r \times (\phi(r) t \vec r + c)$

Ahora no sé qué hacer con el término constante, pero sé que

$\vec r \times k\vec r = 0$

Sin embargo, el problema dice que tenemos que probar que el resultado es una constante, así que creo que estoy equivocado. Los lugares específicos donde alguien podría ayudarme son:

(1) ¿Es correcta mi integración? Si no, ¿cómo se integra una fuerza (dada en términos de notación de vector de posición) con el tiempo?

(2) ¿Qué sucede con la constante? El producto cruzado de un vector y un escalar no tiene ningún sentido.

steve byrnes

Cuando se quiere probar que alguna cantidad

X Y Z

$XYZ$ no cambia con el tiempo, la forma más intuitiva de empezar es intentar demostrar que

X Y Z (t = t_{1}) = X Y Z (t = t_{2})

$XYZ(t=t_1) = XYZ(t=t_2)$ por dos veces

t_{1}

$t_1$ y

t_{2}

$t_2$ . Pero esa casi nunca es la forma más fácil de proceder. Un enfoque más inteligente es tratar de demostrar que la derivada temporal de XYZ es cero.

Respuestas (3)

Demostrar que el momento angular se conserva para una partícula que se mueve en un campo de fuerza central F⃗ =ϕ(r)r⃗ F→=ϕ(r)r→\vec F =\phi(r) \vec r

Cuando se quiere probar que alguna cantidad $XYZ$ no cambia con el tiempo, la forma más intuitiva de empezar es intentar demostrar que $XYZ(t=t_1) = XYZ(t=t_2)$ por dos veces $t_1$ y $t_2$ . Pero esa casi nunca es la forma más fácil de proceder. Un enfoque más inteligente es tratar de demostrar que la derivada temporal de XYZ es cero.

usuario9564 · Answer 1

Si quieres probar que $\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}$ es constante con respecto al tiempo para una partícula en un campo de fuerza central $\vec F = \phi(r) \vec r$ , solo demuestre que el momento angular no cambia con el tiempo, es decir $\frac{d}{dt}\vec{L}=0$ .

Usando la regla del producto obtenemos dos términos:

$\frac{d}{dt}\vec{L}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times \vec{p}) = \frac{d\vec r}{dt} \times \vec p + \vec r \times \frac{d \vec p}{dt}$ .

Desde $\vec p = m \frac{d \vec r}{dt}$ y $\frac{d \vec r}{dt}$ son obviamente paralelos, el primer término desaparece. En el caso especial de una fuerza central $\vec F = \phi(r) \vec r$ el segundo término también se desvanece: Tenemos $\frac{d\vec p}{dt} = \vec F \propto \vec r$ , por lo que los dos vectores en el segundo término son paralelos, lo que hace que el producto vectorial se vuelva cero.

Por lo tanto $\frac{d}{dt}\vec{L}=0$ y $\vec{L}$ es una constante con respecto al tiempo.

Para responder tu pregunta:

(1) No, no puedes integrarte así. La posición de la partícula. $\vec r$ cambia con el tiempo, por lo que no puede tratarlo como una constante en su integración. Si quieres resolver esta integral, resuelve las ecuaciones de movimiento $\frac{d \vec p}{dt} = \vec F$ primero.

(2) Si su integración hubiera sido correcta (por ejemplo, si la posición de la partícula fuera constante), la constante de integración también habría sido un vector. Entonces el producto cruz volvería a tener sentido.

Manas · Answer 2

Desde $F = \phi(r) \vec r$ , puede encontrar el momento de torsión alrededor del origen.

Esfuerzo de torsión $\tau = \vec F \times \vec r = \phi (r) \vec r \times \vec r$

Pero $\vec r \times \vec r$ es cero, por lo que el momento de torsión alrededor del origen también es cero.

Dado que el par es solo la tasa de cambio del momento angular $\frac{ d\vec L}{dt}$ , el momento angular no cambia, que es lo que querías probar.

Jorge Lavín · Answer 3

No puedes hacer esa integral porque esperamos $\vec{r}$ para cambiar con el tiempo. Si el potencial es central, entonces solo depende de la norma del radio vector, pero esto, por supuesto, puede cambiar. Sin embargo, en tu integral estás mezclando números y vectores, $\vec{c}$ en cualquier caso es un vector.

Editar: entendí mal la pregunta, la respuesta anterior es buena

Demostrar que el momento angular se conserva para una partícula que se mueve en un campo de fuerza central F⃗ =ϕ(r)r⃗ F→=ϕ(r)r→\vec F =\phi(r) \vec r

joebevo

steve byrnes

Respuestas (3)

usuario9564

Manas

Jorge Lavín

Momento angular y par de torsión de una barra cilíndrica oscilante

Ejemplo de no conservación del momento angular, pero ¿realmente se requiere un par externo?

¿Por qué se conserva el momento angular en este caso?

¿Por qué no podemos conservar el momento angular en cualquier otro punto excepto el centro de masa?

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¿Por qué debería conservarse el momento angular en este caso?

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