Fuerza magnética y torque para simulador de bola de neodimio 2D

Estoy tratando de escribir un simulador para neoballs . Estoy haciendo solo 2D para empezar, en el que cada bola tiene un momento magnético, m , que está en el plano xy.

El simulador utilizará la integración de pasos de tiempo a 60 fps y las cosas típicas de detección de colisiones. Para el magnetismo pretendo calcular la fuerza y ​​el par entre cada par de bolas en cada cuadro.

Creo que estará bien aproximar cada bolita como un "punto dipolo". ¿Cuál es la fórmula de la fuerza y ​​el torque?

Para la fuerza tengo esto de wikipedia

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\frac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right]}$

Pero creo que da la respuesta incorrecta. No importa cuál sea la dirección de$\mathbf{m} _{1}$o$\mathbf{m} _{2}$, creo que la fuerza debe ser siempre paralela a r para conservar el momento angular. Sin embargo, supongamos$\mathbf{m} _{1}$es paralelo a r y$\mathbf{m} _{2}$es perpendicular:

Todos los términos excepto el primero desaparecen y F está en la dirección$\mathbf{m} _{2}$, que no es posible? ¡El sentido común me dice que F debería ser cero en este caso! ¿Qué estoy haciendo mal?

También necesito una fórmula para el torque. Sé$\mathbf{\tau=m\times B }$, y en la misma página wiki obtuve

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {m} ,\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)}$

(Dejé el término dirac, porque no lo necesito) .

Todavía no lo he probado, pero creo que puedo calcular el par alrededor del centro de masa de$\mathbf{m} _{2}$con$\mathbf{\tau=m _{2}\times B(m _{1}, r) }$donde r es la posición de$\mathbf{m} _{2}$relativo a$\mathbf{m} _{1}$. Como todas las bolas tienen masa y magnetismo idénticos, el momento de torsión en$\mathbf{m} _{1}$es lo mismo pero con signo opuesto.

¿Parece razonable?

EDITAR: la fórmula de fuerza anterior parece ser basura, pero la densidad de flujo (B) es razonable. Me pregunto si puedo usar$\mathbf{\tau=m\times B }$para par y$\mathbf{F=(m\cdot B)\hat {\mathbf {r} } }$por la fuerza Tiene una buena simetría y da buenos resultados en la simulación.

EDIT2 Otra curiosa contradicción. Según esta página wiki , la energía potencial de un campo magnético viene dada por:

${\displaystyle H=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi |{\mathbf {r}}|^{3}}}\left(3({\mathbf {m}}_{1}\cdot {\hat {\mathbf {r}}})({\mathbf {m}}_{2}\cdot {\hat {\mathbf {r}}})-{\mathbf {m}}_{1}\cdot {\mathbf {m}}_{2}\right)}$

Y esto implica que mientras m ₂ sea perpendicular a m ₁ y r , la energía potencial es CERO. Dado que la fuerza es el gradiente de potencial sobre el espacio, entonces la fuerza también debe ser cero en ese caso. ¿Qué estoy malinterpretando?