Fuerza y ​​energía potencial entre dos dipolos magnéticos

Tengo una pregunta sobre dos dipolos magnéticos en forma de bucles coaxiales que transportan corriente, ambos de radio.$r_0$una distancia$h_0 \gg r_0$aparte. Usando$h_0 \gg r_0$podemos suponer que el campo B de uno de los bucles es uniforme a lo largo del eje en el otro bucle.

Para calcular la fuerza experimentada por uno de los bucles, podemos usar$F = -\nabla U = -\frac{d}{dx}U$, y para$U$usamos el hecho de que$m\cdot B = U$por momento magnético$m = IA = I \pi r_0^2$.

Esto produce la respuesta correcta de$F=3\mu_0 \pi r_0^4 I^2 / 2h_0^4$, usando$B = \mu_0 I r_0^2 / 2(h_0^2 + r_0^2)^{\frac{3}{2}} \approx \mu_0 I r_0^2 / 2h_0^3$, pero tengo cierta confusión al resolver lo que realmente está sucediendo en este escenario.

Por intuición, podemos tratar estos dos bucles como mini imanes de barra y, por experiencia, deberían repelerse o atraerse entre sí (dependiendo de la dirección relativa de la corriente en cada bucle, etc.). Esto da como resultado una fuerza de traslación a lo largo del eje de los bucles.

Sin embargo, la expresión para$U$se obtiene considerando el trabajo realizado al girar la bobina contra el campo B externo desde un punto de partida perpendicular:$U = -W = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\theta} \tau d\theta '$,$\tau = m \times B$para un bucle de corriente en un campo B; la integración da una respuesta final. de$mB\cos \theta = m \cdot B$. En este ejemplo, las bobinas son perpendiculares al eje, por lo que$\theta = 0$y$m\cdot B = mB$.

Entonces, la energía potencial de la que derivamos nuestra fuerza de traslación está asociada con una rotación de los bucles contra un campo B en lugar de la separación de traslación de los dos bucles.

¿Alguien puede explicar cómo/por qué este gradiente de energía potencial conduce a un movimiento de traslación en lugar de uno de rotación?

Solicite una aclaración si fuera necesario.