Fuente de operadores de escalera

El origen de los operadores de escalera es la teoría de la representación de los grupos de Lie y las álgebras de Lie .

Los grupos de mentira son conjuntos de transformaciones continuas con una estructura de grupo . Cada transformación continua de un grupo dado se identifica como un elemento de grupo. En física, estos elementos o transformaciones son importantes porque se asignan a transformaciones de simetría, como la simetría de rotación que da lugar al grupo de rotación. Este último es relevante para la teoría del momento angular.

Debido al carácter suave de estos conjuntos (de hecho, los grupos de Lie son variedades), uno puede estudiar una pequeña región cercana a la identidad del grupo y ver cómo se extiende la variedad. Esto se hace a través de los llamados generadores del grupo. Estos generadores cumplen ciertas condiciones, en particular, las relaciones de conmutación, y forman un álgebra de Lie . Sucede que se puede obtener gran parte de la información sobre el grupo (aunque no toda la información) simplemente estudiando el álgebra (es decir, la estructura local del grupo).

Muchas de las álgebras de Lie más relevantes en física son las llamadas álgebras de Lie compactas semisimples. Para estas álgebras es posible descomponer sus generadores en dos subconjuntos, el álgebra de Cartan (el conjunto máximo de generadores linealmente independientes$H_i$que se desplazan entre sí) y los operadores de peldaños o escaleras$E_\alpha$. En general satisfacen

Los generadores así como cualquier elemento (grupo o álgebra) son en principio abstractos y definidos sólo por sus acciones (como una rotación dada) o por sus relaciones de conmutación. Para hacer las cosas más explícitas o (aún más importante) para "encajar" estos grupos y el álgebra con las teorías físicas, uno tiene que adoptar una representación particular.

Dada una representación lineal , los grupos o elementos de álgebra ahora se asignan a operadores lineales que actúan en espacios lineales. Los vectores de estos espacios lineales normalmente se identifican con estados físicos, por lo que es importante encontrar los vectores linealmente independientes. Esto se logra mediante la teoría de la representación prácticamente de la misma manera para cada álgebra de Lie semi-simple compacta, con la ayuda de los operadores de escalera. Actuando sucesivamente con ellos sobre un estado dado podemos obtener todos los estados de la teoría (o todos los estados de la representación).

Imagina que tienes un electrón sentado en reposo. Sabemos que el electrón tiene dos valores posibles para medir su espín en la dirección z, +1/2 y -1/2. El espacio de Hilbert para describir el electrón tiene dos estados básicos,$|+\rangle$y$|-\rangle$que satisfacen$S_z |\pm \rangle = \pm \frac{\hbar}{2}|\pm\rangle$.

Supongamos ahora que sabemos que el sistema de electrones irradia un fotón y, en particular, irradia un fotón polarizado circularmente en la dirección z. Este fotón luego se lleva una unidad de momento angular en la dirección z. ¿Cuál es el estado final del espín del electrón? Debe ser una unidad menos que antes.

Entonces la pregunta es, ¿qué operador está asociado con este proceso de fotones? ¿Qué operador nos lleva del estado electrónico inicial al estado electrónico final? Estamos buscando$O$tal que$|e'\rangle = O|e\rangle$. Cualquiera que sea el operador, tiene que bajar el$S_z$valor por una unidad. Eso es,$S_z|e'\rangle = (s_{z,i}-1)|e'\rangle$. Para arreglar esto, necesitamos$S_z O|e\rangle = OS_z |e\rangle - O|e\rangle$, para cada inicial posible$|e\rangle$. Esto implica que$[S_z,O]=-O$.

¿Podemos construir un operador que tenga esta propiedad? La respuesta es sí:$O = S_x - i S_y$hace el trabajo. De manera similar, podemos encontrar un operador que aumente el espín en una unidad:$[S_z,S_+] = +S_+$. Los fotones que se llevan el momento angular en la dirección +z deben acoplarse en el hamiltoniano para$S_-$y los fotones que transportan momento angular en la dirección -z se acoplan a$S_+$.

Esta es la motivación física para subir y bajar operadores. También hay motivaciones matemáticas muy importantes. Resulta que muchas álgebras de operadores útiles pueden entenderse completamente en términos de operadores diagonales (como$S_z$) y operadores de subida y bajada que se mueven entre los diferentes estados propios.

Básicamente surge cuando tenemos una relación de conmutación del operador de espín y el operador de escalera (llegamos al resultado)

Tenga en cuenta que