Fotones en el campo de culombio

No, no lo hace (es cierto, podría decirse). Los campos de cargas de Coulomb establecen la parte del campo eléctrico que es irrotacional (no tiene rotacional ). Los fotones son excitaciones en la parte del campo electromagnético (campo eléctrico y potencial vectorial) que no tiene divergencia .

Considere el oscilador armónico cuántico (oscilador armónico simple = SHO). Tiene niveles de energía discretos porque el hamiltoniano,

$$\begin{align} H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2, \end{align}$$ tiene tanto el impulso, $p$, y la posición, $x$, en eso. Cuando el hamiltoniano tiene solo uno u otro ( $m=\infty$o $k=0$), su espectro es continuo.

Las 'partículas' en la teoría cuántica de campos (QFT) son, en última instancia, el resultado de exactamente ese tipo de discretización de los posibles valores del hamiltoniano. Una forma de escribir el hamiltoniano para el campo electromagnético es

$$H = \int \left[\frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{E}_{\mathrm{div}}^2 + \frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{E}_{\mathrm{sol}}^2 + \frac{1}{2\mu_0} \left(\nabla\times \mathbf{A}_{\mathrm{sol}}\right)^2\right] \operatorname{d}^3x.$$ En este hamiltoniano $\mathbf{A}_{\mathrm{sol}}$juega el papel de una coordenada (como $x$en el SHO) y $\mathbf{E} = \mathbf{E}_{\mathrm{div}} + \mathbf{E}_{\mathrm{sol}}$juega el papel de impulso ( $p$en el SHO). Date cuenta cómo $\mathbf{A}_{\mathrm{div}}$no contribuye? Eso significa que el $\mathbf{E}_{\mathrm{div}}$parte del campo no admite excitaciones similares a partículas porque esa parte de la energía puede tener cualquier nivel de energía. Los fotones viven en las partes del hamiltoniano que tienen la $\mathrm{sol}$, para solenoidal, subíndice.

Ahora, nunca dije nada sobre el potencial escalar,$\phi$. A diferencia de$\mathbf{A}_{\mathrm{div}}$que carece de un término potencial pero tiene un término de energía cinética,$\phi$aparece en el hamiltoniano/lagrangiano pero su derivada temporal no lo hace, por lo que es una forma diferente de algo extraño donde algo tiene una parte de energía potencial pero no una parte de energía cinética. Peor aún, en realidad está relacionado con$\mathbf{A}_{\mathrm{div}}$, pero entender todo eso no es necesario para entender por qué la parte del campo que depende de ellos no tiene fotones.

Ahora, ¿qué quise decir con "posiblemente"? Bueno, a menudo escuchará sobre "fotones virtuales", y Feynman dice explícitamente que el potencial de Coulomb surge de la acción de tales fotones virtuales. Feynman no era un tonto, por lo que no está completamente equivocado, solo está cometiendo un abuso de terminología que, sin duda, se ha convertido en estándar.

Mi comprensión de lo que es un fotón virtual, o realmente cualquier partícula virtual, está íntimamente ligada a la transformación de Fourier del campo y las restricciones satisfactorias (especialmente las condiciones de contorno). Específicamente, son una herramienta matemática que le permite satisfacer las restricciones en el espacio real después de cambiar al espacio de Fourier. Si profundiza en la electrodinámica cuántica, por ejemplo, encontrará que la ecuación de Maxwell es equivalente a la ley de Coulomb,$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$, se trata como una ecuación de restricción que los campos deben obedecer en lugar de un resultado de la dinámica. Por lo tanto, necesita fotones virtuales para satisfacerlo.

Considere un ejemplo: una cuerda con ambos extremos fijos a una distancia$L$aparte y con una tensión fija,$T$. Ahora, tira de la cuerda en algún punto,$x'$, con una fuerza,$F$. En esta analogía, la posición de la cuerda juega el papel del campo y la fuerza aplicada juega el papel de un electrón ($F$es el cargo). Suponemos que la cuerda obedece a la ecuación de onda no homogénea (por simplicidad)

$$\mu \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = F \delta(x-x'), \tag1$$ dónde $\mu$es la masa por unidad de longitud de la cuerda y $\delta(x-x')$es la función delta de Dirac. En este caso, es posible demostrar que la forma de la cuerda, $y(x)$, es una función tienda dada por $$\begin{equation} y(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{F}{T} \left(1 - \frac{x'}{L}\right) x & x \le x' \\ \frac{F}{T} \left(\frac{x'}{L}\right) (L-x) & x \ge x'. \end{array}\right. \tag2 \end{equation}$$

Cuando$F=0$la cuerda obedece a la ecuación de onda y tiene los modos normales a los que estamos acostumbrados. Esos modos normales ocurren en frecuencias discretas, y en la mecánica cuántica tendrán amplitudes discretas (así es como se ven los fotones cuando fijas el campo en los bordes de una caja, tienen frecuencias discretas) fijadas por$E_i=n_i \hbar \omega_i$, para algún entero$n_i$en cada frecuencia angular$\omega_i$. Eso$n_i$es como llamamos al número de fotones que tienen esa frecuencia en el caso del electromagnetismo. Es importante destacar que esos modos normales obedecen a una relación de dispersión entre la frecuencia angular y el número de onda,$k$,

$$\omega^2 - \frac{T}{\mu}k^2 = 0. \tag3$$ Cuando un modo obedece a esa relación, lo llamamos "en capa de masa" en física de partículas.

Si haces una expansión modal de la ecuación$(2)$usted obtiene

$$\begin{align} y(t,x) &= \frac{F}{T}\sum_{i=1}^\infty \frac{\sin(k_i x') \sin(k_i x)}{k_i^2} \ \mathrm{for} \tag4\\ k_i & \equiv i\frac{\pi}{L}. \end{align}$$ Tenga en cuenta que cada término en la ecuación (4) es un modo separado, y la relación entre la frecuencia angular ( $0$para cada modo en este caso) y se viola el número de onda dado en la ecuación (3). Por lo tanto, llamamos a los términos "no reales", pero aún los necesitamos para satisfacer las condiciones de contorno sobre la derivada de $y$en $x'$implícita en la ecuación (1).

Es cierto que la cuerda no es tan complicada como el caso de los fotones, ya que el campo no está dividido en componentes separados, uno de los cuales admite fotones virtuales y el otro reales, y no tiene condiciones de calibre. Aun así, la esencia es la misma (cf. la teoría del campo escalar, que usa la misma terminología que QED).

Curiosamente, las partículas virtuales no siempre son suficientes para satisfacer todas las restricciones impuestas a un problema. Cuando elige un calibre en la teoría de calibre no abeliana, necesita otra herramienta matemática llamada partícula fantasma de Faddeev-Popov para mantener satisfecha la restricción de calibre. La diferencia entre el fantasma y las partículas virtuales es que los fantasmas FP tienen estadísticas de espín opuestas a las de su campo subyacente, las partículas virtuales tienen las mismas.