Formulario de intersección y transformación de calibre grande

Llevar$s=1$por simplicidad. Entonces esta es una teoría de campo topológica de un campo de calibre de 1 forma$A$y un campo de calibre de 2 formas$B$acoplado vía

$$S = \frac{n}{2\pi} \int_M B \wedge \mathrm{d}A +\frac{pn}{4\pi} \int_M B \wedge B,$$

dónde$M$es una 4-variedad cerrada.

Claramente, la teoría es invariante bajo transformaciones de norma ordinarias de$A$,

$$A \to A + \mathrm{d}\lambda,$$

dónde$[\mathrm{d}\lambda]/2\pi \in H^1(M,\mathbb{Z})$. Cuando$[\mathrm{d}\lambda]$es trivial en cohomología (es decir$\lambda$es en realidad una función definida globalmente), llámese a esto una transformación de calibre pequeño; cuando no es trivial, llámese transformación de calibre grande. Eso es,

$$\oint_\Sigma \frac{\mathrm{d}\lambda}{2\pi} \in \mathbb{Z}$$ es cero para una transformación de calibre pequeño y distinto de cero para una transformación de calibre grande.

La teoría también es invariante bajo transformaciones de calibre de "forma 1"

$$B \to B + \mathrm{d} \eta\\ A \to A - p \eta,$$

dónde$\eta$es un campo calibre de 1 forma (y$p$por lo tanto, debe ser un número entero para que$A-p \eta$sigue siendo un campo de calibre). Bajo esta transformación la acción es deformada por

$$\delta S = \frac{n}{2\pi} \int_M \mathrm{d}\eta \wedge \mathrm{d} A + \frac{pn}{4\pi} \int_M \mathrm{d}\eta \wedge \mathrm{d} \eta,$$

que puede escribirse más sugerentemente como

$$\delta S = 2\pi n \int_M \frac{\mathrm{d}\eta}{2\pi} \wedge \frac{\mathrm{d} A}{2\pi} + \pi pn \int_M \frac{\mathrm{d}\eta}{2\pi} \wedge \frac{\mathrm{d} \eta}{2\pi}.$$

las integrales son$\mathbb{Z}$-valorado, ya que$A$y$\eta$son campos de calibre. Para transformaciones de pequeño calibre,$\eta$se define globalmente, estas integrales son cero y la acción es invariante. Incluyendo grandes transformaciones de calibre, el primer término dejará el peso integral del camino$e^{iS}$siempre invariante$n\in \mathbb{Z}$. para genérico$M$y$n$, el segundo término deja invariante la integral de trayectoria siempre que$p \in 2 \mathbb{Z}$. Sin embargo, si$n$es par, entonces$p$puede ser cualquier entero. Asimismo, si sucede que la intersección se forma en$M$es par (que será el caso si$M$es girar),

$$\int_M \frac{\mathrm{d}\eta}{2\pi} \wedge \frac{\mathrm{d} \eta}{2\pi}\in 2\mathbb{Z},$$

entonces$p$puede volver a ser cualquier número entero.

Ver Kapustin, Seiberg Coupling a QFT to a TQFT and Duality section 6 para obtener más detalles (y el resto del documento para una buena discusión de este tipo de$BF$teorías).