¿Cómo ver la degeneración del estado fundamental (GSD) de una teoría BFBFBF en 2+12+12+1 ddd?

Question

¿Cómo ver la degeneración del estado fundamental (GSD) de una teoría BFBFBF en 2+12+12+1 ddd?

Física
teoría de calibre
materia Condensada
orden topológico
teoría cuántica de campos
teoría topológica del campo

usuario21090

He visto muchas veces la $BF$ la teoría tiene una degeneración del estado fundamental no trivial (típicamente en un toro), pero no puedo ver cómo se llega a la conclusión. Recientemente encontré un artículo de Hansson, Oganesyan y Sondhi, Los superconductores están ordenados topológicamente en el que el superconductor se describe mediante un Maxwell- $BF$ teoría. Tienen una sección del GSD en un $BF$ teoría en $2+1$ $d$ . Pero en realidad todavía tengo preguntas para entenderlo.

El $BF$ teoría en $2+1$ $d$ está dada por la acción

S = \frac{1}{π} \int d^{3} X ϵ^{m v σ} b_{m} \partial_{v} a_{σ}, (1)

$S = \frac{1}{\pi} \int d^3 x \epsilon^{\mu \nu \sigma} b_{\mu} \partial_{\nu} a_{\sigma}, \qquad (1)$ dónde

a_{μ}

$a_{\mu}$ y

b_{μ}

$b_{\mu}$ son

U (1)

$U(1)$ campos de medida.

μ, ν, σ = 0, x, y

$\mu,\nu,\sigma = 0,x,y$ .

Trabajando en $2$ -Torous, como en la sección IV.A en el artículo de Hansson, el $BF$ La teoría se puede escribir en la forma

S = \frac{1}{π} \int d^{3} X [ϵ^{i j} {\dot{a}}_{i} b_{j} + a_{0} ϵ^{i j} \partial_{i} b_{j} + b_{0} ϵ^{i j} \partial_{i} a_{j}],

$S = \frac{1}{\pi}\int d^3x[\epsilon^{ij} \dot{a}_i b_j+ a_0 \epsilon^{ij} \partial_i b_j + b_0 \epsilon^{ij} \partial_i a_j],$ dónde

\dot{a} = \partial_{0} a

$\dot{a} = \partial_0 a$ y

i, j = x, y

$i,j = x,y$ . ellos interpretan

a_{0}

$a_0$ y

b_{0}

$b_0$ son multiplicadores para restricciones

ϵ^{i j} \partial_{i} b_{j} = 0

$\epsilon^{ij} \partial_i b_j = 0$ y

ϵ^{i j} \partial_{i} a_{j} = 0

$\epsilon^{ij} \partial_i a_j = 0$ . Al insertar

a_{i} = \partial_{i} Λ_{a} + {\bar{a}}_{i} / L

$a_i = \partial_i \Lambda_a + \bar{a}_i/L$ y

b_{i} = \partial_{i} Λ_{b} + {\bar{b}}_{i} / L

$b_i = \partial_i \Lambda_b + \bar{b}_i/L$ , dónde

Λ_{a / b}

$\Lambda_{a/b}$ son funciones periódicas en el toro,

\bar{a_{i}}

$\bar{a_i}$ y

\bar{b_{i}}

$\bar{b_i}$ son espacialmente constantes,

L

$L$ denota el tamaño del sistema, lo anterior

B F

$BF$ la teoría se reduce a

S = \frac{1}{π} \int d^{3} X ϵ^{i j} {\dot{\bar{a}}}_{i} {\bar{b}}_{j} . (2)

$S = \frac{1}{\pi}\int d^3 x \epsilon^{ij} \dot{\bar{a}}_i \bar{b}_j. \qquad (2)$

Luego dicen que de la ecuación (2) se puede obtener la relación de conmutación ( ecuación (38) en su artículo)

[{\bar{a}}_{X}, \frac{1}{π} {\bar{b}}_{y}] = i, [{\bar{a}}_{y}, - \frac{1}{π} {\bar{b}}_{X}] = i . (3)

$[\bar{a}_x, \frac{1}{\pi}\bar{b}_y] = i, \quad [\bar{a}_y,-\frac{1}{\pi}\bar{b}_x] = i. \qquad (3)$

Además, a partir de las relaciones de conmutación Eq. (3), uno puede tener ( Eq. (39) en su artículo)

A_{X} B_{y} + B_{y} A_{X} = 0, A_{y} B_{X} + B_{X} A_{y} = 0, (4)

$A_x B_y + B_y A_x = 0, \quad A_y B_x + B_x A_y = 0, \qquad (4)$ dónde

A_{i} = e^{i {\bar{a}}_{i}}

$A_i = e^{i\bar{a}_i}$ y

B_{i} = e^{i {\bar{b}}_{i}}

$B_i = e^{i\bar{b}_i}$ . Afirman que las relaciones Eq. (4) indica un

2 \times 2 = 4

$2\times2 = 4$ -doblar GSD y "

B_{i}

$B_i$ puede interpretarse como una medida de la

b

$b$ -flux o insertando un

a

$a$ -flujo."

Hay varios puntos que no entiendo.

¿Cómo puedo obtener relaciones de comunicación Eq. (3) de la acción Eq. (2)?
¿Por qué las relaciones Eq. (4) indicar un $4$ -doblar GSD?
¿Cómo debo entender la declaración " $B_i$ puede interpretarse como una medida de la $b$ -flux o insertando un $a$ -flujo."?

Agradecería mucho si alguien me puede dar algunos consejos o sugerirme algunas referencias relevantes.

Respuestas (1)

¿Cómo ver la degeneración del estado fundamental (GSD) de una teoría BFBFBF en 2+12+12+1 ddd?

Everett usted · Answer 1

Un pequeño comentario primero: por lo general, la gente llama a esta teoría como una teoría de Chern-Simons en (2+1)d, mientras que la teoría BF generalmente se refiere a una teoría similar en (3+1)d. Pero de todos modos, este nombramiento no es importante. La teoría U(1) de Chern-Simons en (2+1)d siempre se formula de la siguiente forma general

S = \int \frac{i}{4 π} k^{I j} a^{I} \land d a^{j} .

$S=\int\frac{\mathrm{i}}{4\pi}K^{IJ} a^I\wedge \mathrm{d}a^J.$ La acción en su Eq. (1) corresponde a lo siguiente

K

$K$ matriz

k = [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}],

$K=\left[\begin{matrix}0&2\\2&0\end{matrix}\right],$ que es muy famoso

K

$K$ matriz que corresponde a la

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ orden topológico de código tórico (o

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ teoría del calibre). La teoría efectiva de baja energía para un superconductor completamente abierto es una

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ teoría de calibre, simplemente porque la condensación del par de carga-2 Cooper ha elevado la estructura de calibre U(1) a

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ . Esto es equivalente (y probablemente mejor) a decir que el superconductor exhibe

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ orden topológico.

Con respecto a sus preguntas técnicas, recomendaría el artículo original de Wen y Zee (cond-mat/9711223) sobre la degeneración del estado fundamental topológico de la teoría de Chern-Simons, o la sección 8.2.1 del libro de Wen. Su última pregunta está relacionada con el modelo de código tórico de Kitaev , que sugeriría el artículo original de Kitaev (cond-mat/0506438) .

Permítanme tratar de responder brevemente a sus preguntas.

De la ecuación (2) conocemos el lagrangiano $L=\frac{1}{\pi}(\dot{\bar{a}}_x\bar{b}_y-\dot{\bar{a}}_y\bar{b}_x)$ , según la mecánica clásica, los momentos conjugados de $\bar{a}_x$ y $\bar{a}_y$ son
${pag}_{{\bar{a}}_{X}} = \frac{\partial L}{\partial ({\dot{\bar{a}}}_{X})} = \frac{1}{π} {\bar{b}}_{y}, {pag}_{{\bar{a}}_{y}} = \frac{\partial L}{\partial ({\dot{\bar{a}}}_{y})} = - \frac{1}{π} {\bar{b}}_{X} .$ $p_{\bar{a}_x}=\frac{\partial L}{\partial(\dot{\bar{a}}_x)}=\frac{1}{\pi}\bar{b}_y,\quad p_{\bar{a}_y}=\frac{\partial L}{\partial(\dot{\bar{a}}_y)}=-\frac{1}{\pi}\bar{b}_x.$ Por cuantización canónica ( $[q,p]=\mathrm{i}$ en mecánica cuántica), la ecuación (3) simplemente se sigue de $[{\bar{a}}_{X}, {pag}_{{\bar{a}}_{X}}] = [{\bar{a}}_{X}, \frac{1}{π} {\bar{b}}_{y}] = i, [{\bar{a}}_{y}, {pag}_{{\bar{a}}_{y}}] = [{\bar{a}}_{y}, - \frac{1}{π} {\bar{b}}_{X}] = i .$ $[\bar{a}_x,p_{\bar{a}_x}]=[\bar{a}_x,\frac{1}{\pi}\bar{b}_y]=\mathrm{i},\quad [\bar{a}_y,p_{\bar{a}_y}]=[\bar{a}_y,-\frac{1}{\pi}\bar{b}_x]=\mathrm{i}.$
Sin embargo, para calcular la degeneración del estado fundamental a lo largo de esta línea, es necesario saber que los campos de medición $a$ y $b$ ambos son compactos debido al hecho de que sus cargas de calibre están cuantificadas (consulte la sección 6.3 del libro de Wen), lo que significa que además de la transformación de calibre local, también se permite la llamada transformación de calibre grande. En el toro, el envío de transformación de calibre grande $\bar{a}_i\to\bar{a}_i+2\pi$ y $\bar{b}_i\to\bar{b}_i+2\pi$ . Las configuraciones de calibre que están relacionadas por la transformación de calibre son solo etiquetas diferentes del mismo estado cuántico físico, por lo que la transformación de calibre grande en realidad impone la condición límite en $\bar{a}$ y $\bar{b}$ . Por ejemplo, $|\bar{a}_x\rangle=|\bar{a}_x+2\pi\rangle$ son el mismo estado. Entonces, la función de onda de la mecánica cuántica está sujeta a la condición de límite periódica como $\psi(\bar{a}_x)=\psi(\bar{a}_x+2\pi)$ , lo que significa que el impulso $p_{\bar{a}_x}=\frac{1}{\pi}\bar{b}_y$ debe cuantificarse a un número entero (recuerde la fórmula de cuantificación del impulso $\frac{2\pi n}{L}$ con $L=2\pi$ ), es decir $\bar{b}_y=n\pi$ (con $n\in\mathbb{Z}$ ). Sin embargo, por la gran transformación de calibre $|\bar{b}_y\rangle=|\bar{b}_y+2\pi\rangle$ también son del mismo estado, por lo que $n=0,1$ sólo puede tomar dos valores, lo que corresponde a dos estados propios de $\bar{b}_y$ , que abarca un espacio de Hilbert de 2 dim. Repita el mismo argumento para el otro par conjugado $\bar{a}_y$ y $\bar{b}_x$ , uno puede encontrar otro espacio de Hilbert de 2 dim. Finalmente, el espacio de Hilbert de estados básicos es simplemente el producto directo de ambos espacios de Hilbert de 2 dim, que contiene 4 estados en total, por lo tanto, el GSD de 4 veces.
Puede entender la declaración de la misma manera que entiende la siguiente declaración en mecánica cuántica: el operador de cantidad de movimiento $p$ mide el impulso de una partícula y también genera la traslación de coordenadas. Todo operador mecánico cuántico tiene dos efectos: medir y operar. Si mide el impulso, también debe operar (o cambiar) la coordenada. Ahora la relación entre $a$ -flujo y $b$ -el flujo es como la relación entre la coordenada y el momento, por lo que cualquier operador que mida $b$ -el flujo debe cambiar necesariamente el $a$ -flujo (introduciendo el flujo de causa), y obviamente $B$ es tal operador. En el modelo de código tórico, $A$ y $B$ también se conocen como el operador de bucle a lo largo de la base de homología, que tiene un significado geométrico y físico más claro. Para obtener más información sobre el álgebra de bucles, puede consultar el artículo (1208.4834) de Barkeshli, Jian y Qi, o el artículo (1208.4109) de You, Jian y Wen.

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usuario21090

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Everett usted

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