Formulación de la función de Green de la mecánica cuántica

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Formulación de la función de Green de la mecánica cuántica

Física
greens-funciones
mecánica cuántica
funciones de correlación

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Supongamos que me dan el valor esperado de vacío de los productos ordenados en el tiempo de los operadores de posición en la imagen de Heisenberg. Dada esta función de Green, ¿es posible obtener información sobre los valores propios de la energía insertando un conjunto completo de estados básicos? Adjunto la captura de pantalla del problema a continuación:

Intenté insertar los estados, pero no pude entender cómo podríamos obtener información sobre los valores propios (y, en última instancia, sobre la forma funcional del hamiltoniano) si solo recibimos las funciones de Green.

Nota: Este es en realidad el problema 1 del capítulo 3 del libro de Tom Bank sobre qft.

luzana

Suena como un problema interesante. ¿Podría aclarar qué se da exactamente como entrada (para aquellos que no tienen a mano el libro que menciona)?

⟨ \emptyset | Q (t_{n}) \dots Q (t_{1}) | \emptyset ⟩

$\left\langle \varnothing \middle| Q(t_n) \dots Q(t_1) \middle| \varnothing \right\rangle$ para cualquier

t_{n} \geq \dots \geq t_{1}

$t_n \geq \dots \geq t_1$ , con

\emptyset

$\varnothing$ definido como el estado propio de energía más baja?

Buscador de la verdad

@Luzanne He agregado una captura de pantalla del problema a mi pregunta. Para su pregunta, sí, se nos da el valor esperado como ha mencionado correctamente, siendo el vacío el estado propio de energía del valor propio cero.

luzana

Gracias, eso es más claro. Sugerí una edición, ya que su formulación original podría sugerir que la forma funcional del hamiltoniano también sería parte de la entrada.

Ján Lalinský

Esta respuesta de Marek puede ser de ayuda: physics.stackexchange.com/a/4611/31895

Respuestas (1)

Formulación de la función de Green de la mecánica cuántica

Suena como un problema interesante. ¿Podría aclarar qué se da exactamente como entrada (para aquellos que no tienen a mano el libro que menciona)? $\left\langle \varnothing \middle| Q(t_n) \dots Q(t_1) \middle| \varnothing \right\rangle$ para cualquier $t_n \geq \dots \geq t_1$ , con $\varnothing$ definido como el estado propio de energía más baja?
@Luzanne He agregado una captura de pantalla del problema a mi pregunta. Para su pregunta, sí, se nos da el valor esperado como ha mencionado correctamente, siendo el vacío el estado propio de energía del valor propio cero.
Gracias, eso es más claro. Sugerí una edición, ya que su formulación original podría sugerir que la forma funcional del hamiltoniano también sería parte de la entrada.
Esta respuesta de Marek puede ser de ayuda: physics.stackexchange.com/a/4611/31895

luzana · Answer 1

Creo que debería ser posible recuperar los valores propios de la energía solo a partir de la función de 2 puntos. Para $t_2 \geq t_1$ , usando eso $H \left|0\right\rangle = 0$ , Tengo:

⟨ 0 | \hat{X} (t_{2}) \hat{X} (t_{1}) | 0 ⟩ = ⟨ 0 | \hat{X} {mi}^{i d t H} \hat{X} | 0 ⟩ = \sum_{norte} {mi}^{i d t {mi}_{norte}} ⟨ 0 | \hat{X} | norte ⟩ ⟨ norte | \hat{X} | 0 ⟩ =: GRAMO (d t)

$\left\langle 0 \middle| \,\hat{x}(t_2) \, \hat{x}(t_1)\, \middle| 0 \right\rangle = \left\langle 0 \middle| \,\hat{x} \,e^{i \delta t H}\, \hat{x}\, \middle| 0 \right\rangle = \sum_n e^{i \delta t E_n}\, \left\langle 0 \middle| \,\hat{x} \, \middle| n \right\rangle \,\left\langle n \middle| \hat{x}\, \middle| 0 \right\rangle =: G(\delta t)$ dónde

δ t = t_{2} - t_{1} \geq 0

$\delta t = t_2 - t_1 \geq 0$ ,

\hat{x} := \hat{x} (0)

$\hat{x} := \hat{x}(0)$ y

| n ⟩, E_{n}

$\left| n \right\rangle, E_n$ son los vectores propios/valores propios de la energía. Desde

α_{n} := ⟨ 0 | \hat{x} | n ⟩ ⟨ n | \hat{x} | 0 ⟩

$\alpha_n := \left\langle 0 \middle| \,\hat{x} \, \middle| n \right\rangle \,\left\langle n \middle| \hat{x}\, \middle| 0 \right\rangle$ es real , tenemos

G (- δ t) = \bar{G (δ t)}

$G(-\delta t) = \overline{G(\delta t)}$ , para que sepamos

G

$G$ para todos

δ t \in R

$\delta t \in \mathbb{R}$ . Entonces su transformada de Fourier será una suma de deltas de Dirac localizados en el

E_{n}

$E_n$ 's, con amplitudes

α_{n}

$\alpha_n$ .

Supongo que se puede obtener más información mirando $3$ -funciones de puntos y así sucesivamente, recuperando finalmente la información completa sobre la teoría de sus funciones de Green.

Para dar un poco de contexto, este problema puede verse como una versión infantil de la reconstrucción de una QFT a partir de su integral de trayectoria (al estilo del teorema de reconstrucción de Osterwalder-Schrader ).

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