Formalismo lagrangiano y hamiltoniano para péndulo amortiguado

Question

Formalismo lagrangiano y hamiltoniano para péndulo amortiguado

gabe

Supongamos que tengo un péndulo simplificado (una cuerda sin masa de longitud $l$ , bola de masa $m$ y algo de volumen distinto de cero). Quiero derivar las ecuaciones de movimiento, pero quiero tener en cuenta la resistencia del aire. Sé cómo hacerlo aplicando la segunda ley de Newton, pero ¿hay alguna forma de hacerlo usando lagrangiana o hamiltoniana? ¿Cuál sería la forma de lagrangiano/hamiltoniano en tal caso?

qmecanico

Posible duplicado: physics.stackexchange.com/q/147341/2451

Respuestas (3)

Formalismo lagrangiano y hamiltoniano para péndulo amortiguado

Diracología · Answer 1

Para una fuerza general de amortiguamiento no existe un Principio de Acción Mínima. Sin embargo, puede obtener las ecuaciones de movimiento del principio de d'Alembert. El procedimiento se explica aquí y las ecuaciones de los movimientos son

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = q_{i}^{pag},

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i^p,$ dónde

L = T - V

$L=T-V$ es la función de Lagrange y

q_{i}^{pag} \equiv \sum_{α} {\vec{F}}_{α} \cdot \frac{\partial {\vec{r}}_{α}}{\partial q_{i}},

$Q_i^p\equiv\sum_\alpha\vec F_\alpha\cdot\frac{\partial \vec r_\alpha}{\partial q_i},$ es la llamada fuerza generalizada que depende de la fuerza de amortiguamiento

{\vec{F}}_{α}

$\vec F_\alpha$ actuando de partícula

α

$\alpha$ .

Dado que para el amortiguamiento general no podemos formular un principio variacional, $L$ en sí mismo no es suficiente para determinar la evolución dinámica del sistema. Por lo tanto no hay hamiltoniano $H$ satisfactorio

d S = d \int_{t_{1}}^{t_{2}} [\sum_{i} {pag}_{i} {\dot{q}}_{i} - H (q, pag, t)] d t = 0.

$\delta S=\delta\int_{t_1}^{t_2}\left[\sum_i p_i\dot q_i-H(q,p,t)\right]dt=0.$ Recuerde que las ecuaciones canónicas también se pueden obtener del principio variacional anterior, por lo que no hay función

H

$H$ satisfaciendo las ecuaciones canónicas y las ecuaciones de movimiento del sistema (que tendrán en cuenta el amortiguamiento) simultáneamente.

En el caso de la amortiguación lineal, puede seguir la idea de Bateman que se menciona en la respuesta de ZeroTheHero o usar la función de disipación de Rayleigh

ZeroTheHero · Answer 2

Depende de la forma del amortiguamiento, pero si escribes

L = {mi}^{α t} (\frac{1}{2} metro {\dot{q}}^{2} - V (q))

$L=e^{\alpha t}\left(\textstyle\frac{1}{2}m\dot{q}^2 -V(q)\right)$ entonces obtienes una ecuación de movimiento de la forma

{mi}^{α t} (metro \ddot{q} + metro α \dot{q} + \frac{d V}{d q}) = 0

$e^{\alpha t}\left( m\ddot{q}+m\alpha \dot{q}+\frac{dV}{dq}\right)=0$ lo que puede explicar la fricción dependiendo de su modelo de fricción.

El hamiltoniano se calcularía de la forma habitual pero claramente $L$ depende explícitamente de $t$ por lo que la energía no se conserva en su sistema.

Editar: cambiado $\alpha\to -\alpha$ después de un comentario correcto.

Por qué $e^{-at}$ ? No veo de dónde vino. También olvidé mencionar que me gustaría que la amortiguación dependiera del cuadrado de la velocidad. Bueno, la razón por la que hago esa pregunta es que, en última instancia, quiero simular un péndulo doble con resistencia del aire y derivar ecuaciones del lagrangiano parece ser más fácil que el método de la fuerza.
@G.Fil Hasta donde yo sé, esto $e^{\alpha t}$ factor es fenomenológico, es decir, se observa que produce el término de amortiguamiento adecuado. No conozco ningún truco que capture una amortiguación cuadrática en $\dot{q}$ : es posible que deba usar las ecuaciones de movimiento generalizadas, donde el término que no proviene de un potencial se agrega "a mano".
No es fenomenológico; hay una razón profunda para la elección. Esto es un poco exagerado, pero el $e^{\alpha t}$ El factor es análogo al $\sqrt{|g|}$ factor en la relatividad general si consideramos el tiempo como un $1$ Variedad riemanniana bidimensional. Entonces $q$ es un campo en esa variedad, con la ecuación de movimiento $\dot{q}$ término proporcional al término de Christoffel $\Gamma_{00}^0=\frac{1}{2}g^{00}\partial_0 g_{00}=\partial_0\ln\sqrt{g}$ , de donde el $g=e^{2\alpha t}$ sigue la elección. (Efectivamente, es una variedad de De Sitter).
@JGwow! ¡Acabo de aprender algo! Pero, ¿por qué querría pensar en el tiempo de esta manera? ¿Proporciona esto información adicional que ayudaría a manejar casos adicionales (más complicados)?

Señor O · Answer 3

En cierto sentido sí; deberá escribir la fuerza de la resistencia del aire como si pudiera derivarse de un potencial dependiente de la velocidad.

Un ejemplo común de esto es una partícula en un campo magnético . La fuerza del campo magnético sobre la partícula depende de su velocidad, por lo que el potencial se escribe como $\vec{A} \cdot \vec{v}$ .

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gabe

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