Estoy trabajando en problemas de fuera de equilibrio de materiales fuertemente correlacionados, por lo que estoy interesado en el formalismo de Keldysh . Acabo de empezar a leer sobre el tema, y no entiendo muy bien el interés del formalismo. Dado que uno puede usar el formalismo de Kubo y Matsubara para tratar un hamiltoniano dependiente del tiempo.
Puedo ver que el formalismo permite un enfoque esquemático de una manera más compacta y sistemática. Generalización de la energía propia a la dependiente del tiempo. .
¿Qué puede hacer el formalismo de Keldysh que no pueden hacer la fórmula de Kubo junto con el formalismo de Matsubara?
El formalismo de Matsubara funciona para sistemas estadísticos en equilibrio, y la fórmula de Kubo corresponde a la aproximación de respuesta lineal cuando el sistema está débilmente perturbado por una interacción dependiente del tiempo. Si quiere ir más allá de estas dos aproximaciones (equilibrio o sistemas débilmente perturbados), necesita el método de Keldysh o algún otro método de su preferencia, como por ejemplo trabajar directamente con la matriz de densidad y no con las funciones de Green. Por ejemplo, si desea tratar sistemas lejos del equilibrio, necesita cosas mejores que Kubo o Matsubara.
Además, en el corazón de los métodos de la función de Green se encuentra la hipótesis de la activación adiabática de la interacción, utilizando un teorema de Gell-Mann y Low [ Bound state in quantum field theory] . Physical Review, 84 , 350–354, (1951) .]. Si desea ir más allá de esta aproximación, también necesita el método de Keldysh. Aparentemente, este es un problema que solo recientemente se ha discutido seriamente, por lo que no comentaré mucho al respecto.
Tal vez haya dicho erróneamente Matsubara para la continuación analítica de los métodos de equilibrio estadístico (es decir, el verdadero método de Matsubara) para problemas de mecánica estadística que dependen del tiempo. Entonces los dos métodos son equivalentes. Es solo una cuestión de convención y preferencia cuál prefiere usar (ya sea Keldysh o continuación analítica del tiempo imaginario). La razón es que en el método de Matsubara de sistemas de equilibrio se supone que el tiempo es puramente imaginario, por lo que tomar tanto el tiempo real (es decir, la evolución) como las estadísticas significa que la variable del tiempo pasa sin problemas al plano complejo. (hablando superficialmente, se pueden encontrar más detalles en esta pregunta ).
Además, los problemas de campos cuánticos dependientes del tiempo pueden abordarse utilizando métodos de Keldysh (es decir, problemas que tratan solo de una partícula, no de mecánica estadística). Pero esto no tiene ninguna relación con las aproximaciones de Kubo o Matsubara, así que supongo que su pregunta no era sobre esa posibilidad.
Finalmente, ( y estoy menos seguro de eso ) siento que las estadísticas cuánticas pueden discutirse solo en el formalismo de Keldysh. La razón es que el enfoque de la función de Green utiliza la estadística clásica (llamo clásica tanto a los gases fermiónicos como a los bosónicos), es decir, el equilibrio térmico. Esta es la condición bajo la cual el reemplazo entre campo cuántico y campos estadísticos funciona. Más allá de esta ponderación estadística de Boltzmann, me temo que necesita Keldysh o métodos más poderosos.
¿Qué puede hacer el formalismo de Keldysh que no pueden hacer la fórmula de Kubo junto con el formalismo de Matsubara?
Las funciones de distribución de Fermi y Bose, con las que debe estar familiarizado, se mantienen estrictamente en equilibrio . El formalismo de Keldysh le permite capturar funciones de distribución de no equilibrio que no se pueden capturar dentro de la formulación de Matsubara, por su propia construcción.
Esto es relevante cuando se trata de calcular la respuesta de un sistema fuertemente fuera de equilibrio. Para los sistemas que se desequilibran débilmente, existe el teorema de disipación de fluctuación que relaciona las cantidades observables experimentalmente con alguna función de respuesta que depende solo del estado de equilibrio, y no de la fuerza de la perturbación . Esta es la esencia de la teoría de la respuesta lineal y la función de respuesta se puede calcular utilizando una fórmula de Kubo . Sin embargo, la suposición crucial que entra aquí es que la función de distribución no cambia al aplicar la perturbación, que se rompe en caso de fuertes perturbaciones.
La teoría de Matsubara se puede utilizar para calcular funciones de correlación ordenadas en el tiempo imaginario, que luego se continúan analíticamente para obtener funciones de respuesta causales en tiempo real . Sin embargo, este procedimiento no es muy útil más allá del régimen de respuesta lineal porque para hacer conexión con los experimentos también se debe obtener la función de distribución renormalizada ; algo más allá del alcance de la teoría de Matsubara.