¿Forma variacional de las ecuaciones de fluidos incompresibles de Euler?

Estoy tratando de derivar las ecuaciones de fluidos incompresibles de Euler en términos de un principio estacionario variacional. Dadas las ecuaciones de flujo de Euler:

∂ v ∂ t = − ∇ pag

∇ ⋅ v = 0

Comenzando con un Lagrangiano que consiste en la energía cinética y la restricción de continuidad (velocidad libre de divergencia):

L = ∫ Ω 1 2 | v | 2 − pag ( ∇ ⋅ v )

¿Puede uno simplemente aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange:

d dt ∂ L ∂ v − ∂ L ∂ X = 0

llegar a las ecuaciones de Euler? Según tengo entendido, esto es bastante posible, pero no estoy seguro de cómo proceder exactamente. Específicamente, ¿cómo diferencia el operador de divergencia con respecto a v , X ?

Espero que puedan derivarse de esta forma simple ( L = T − V ), sin invocar algunos de los métodos geométricos más abstractos, por ejemplo: Arnold.

Lo más cercano que he visto es el principio variacional de Luke, pero esto no es tan general. Referencias bienvenidas.

(Pregunta movida de math.stackexchange.com)

Um... ¿Estás seguro de la primera ecuación? Primero, las unidades no coinciden, L / T 2 = METRO / ( T 2 L 2 ) (?). Además, ¿de dónde salió el término advectivo ( tu ⋅ ∇ tu ) ¿ir? ¿O tiene algo que ver con la formulación lagrangiana?
@user3823992: Estoy de acuerdo, la primera ecuación debe escribirse como D t v = − ( ∇ pag ) / ρ dónde D t es la derivada total.
En general el Lagrangiano ( L = T − V ) en las ecuaciones de Euler-Lagrange no necesita ser uno estándar (donde el potencial depende solo de la posición X ). En muchos casos hay potenciales generalizados (es decir, dependiendo de la velocidad, pero de tal manera que las ecuaciones EL se cumplen con un lagranagiano generalizado). L = T − V gramo ), ejemplo: lagrangiano de Electromagnetismo

Respuestas (1)

Aquí asumimos que OP está más interesado en la imagen del fluido euleriano (a diferencia de la imagen del fluido lagrangiano). Ambas imágenes fluidas se analizan con gran detalle en la Ref. 1.

Nótese, sin embargo, que en los métodos de la Ref. 1, la densidad de masa ρ es una variable dinámica. La variación de ρ es importante para obtener un conjunto completo de eoms. Pero OP pregunta específicamente sobre fluidos incompresibles , lo que significa constante ρ (más precisamente, a lo largo de las trayectorias, cf. la ecuación de continuidad).

En el principio de variación de Luke , que OP menciona, en lugar de variar ρ , uno varía wrt. una superficie libre, que es insuficiente para derivar oms a granel.

Alternativamente, las ecuaciones de fluidos de Euler para constante ρ puede verse como un caso especial de las ecuaciones de Euler-Poincaré (EP), que tiene una formulación variacional, cf. Árbitro. 2-4 y esta publicación de Phys.SE. Con una advertencia. Porque en lugar de derivar la ecuación buscada

D ( ρ tu ) D t   =   − ∇ pag ,

uno esencialmente solo deriva

∇ × D ( ρ tu ) D t   =   0 ,

es decir, la presión pag no entra en el principio variacional.

Referencias:

  1. R. Salmon, Mecánica de fluidos hamiltoniana, Ann. Líquido Rev. mecánico (1988) 225 . El archivo pdf se puede descargar de la página web del autor .

  2. VA Arnold y BA Khesin, Métodos topológicos en hidrodinámica, 1998; § 7.

  3. JE Marsden y TS Ratiu, Intro to Mechanics and Symmetry, 2nd Eds, 1998; Sección 13.5.

  4. Terence Tao, La ecuación de Euler-Arnold , blogpost 2010.

¿Forma variacional de las ecuaciones de fluidos incompresibles de Euler?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v