¿Densidad lagrangiana para la fuerza de Lorentz de distribución de carga continua en un campo externo?

Con frecuencia es un ejercicio derivar la ley de fuerza de Lorentz para una partícula con carga q en un campo electromagnético externo dado por el siguiente Lagrangiano:

L = − metro C 2 1 − r ˙ 2 C 2 − q ϕ + q r ˙ ⋅ A

Lo que conduce a la ley de fuerza relativista de Lorentz:

F = d d t ( metro r ˙ 1 − r ˙ 2 C 2 ) = q ( mi + r ˙ × B )

Para distribuciones continuas, tenemos:

F = ρ mi + j × B

Estoy tratando de encontrar la densidad lagrangiana correspondiente que da como resultado esta fuerza. Sé que si la distribución de carga se trata como la fuente, puede usar la densidad lagrangiana estándar para el electromagnetismo, pero hacerlo no le dará la ecuación de fuerza de Lorentz. Sin embargo, en mi caso específico, estoy ignorando el campo propio de la distribución de carga, los campos son puramente externos, no necesito la densidad lagrangiana del electromagnetismo para mi problema. Ingenuamente uno podría reemplazar todas las instancias de metro con un término de densidad de masa, ρ metro , y todas las instancias de q con un término de densidad de carga, ρ q , dónde j = ρ q r ˙ .

L = − ρ metro C 2 1 − v ( r , t ) 2 C 2 − ρ q ϕ + ρ q v ( r , t ) ⋅ A = − ρ metro C 2 1 − v ( r , t ) 2 C 2 − ρ q ϕ + j ⋅ A

Sin embargo, las densidades también son una función de las coordenadas y, además, las densidades de masa y las densidades de carga están relacionadas entre sí de alguna manera desconocida. Si asumimos que todas nuestras partículas son electrones, entonces podemos escalar las densidades por la masa y la carga de los electrones. Si tomamos la variación de esta densidad lagrangiana con respecto a la densidad de carga, obtenemos lo siguiente:

d d t ∂ L ∂ ρ ˙ + d d X ∂ L ∂ ρ X + d d y ∂ L ∂ ρ y + d d z ∂ L ∂ ρ z = ∂ L ∂ ρ

El LHS es claramente cero ya que no dependemos de las derivadas de la densidad en nuestra densidad lagrangiana. El RHS solo nos da:

0 = − metro C 2 mi 1 − r ˙ 2 C 2 − ϕ + v ( r , t ) ⋅ A

Claramente, esta densidad lagrangiana no es correcta o no deberíamos estar variando con respecto a la densidad. De manera similar, se puede tomar la variación con respecto al campo de velocidad, pero esto tampoco da como resultado la ecuación correcta. Siento que estoy teniendo un malentendido fundamental aquí, pero no puedo encontrar ninguna referencia que funcione a través de esto. ¿Cuál es la densidad lagrangiana correcta? ¿Cuál es la cantidad correcta para variar la acción?

Respuestas (1)

Comentarios a la pregunta (v3):

  1. OP está preguntando esencialmente sobre la formulación teórica de campo de Lagrange de un fluido relativista en un fondo electromagnético externo A m .

  2. La dinámica de fluidos tiene una imagen tanto lagrangiana como euleriana . (Tenga en cuenta que la palabra lagrangiana se usa en dos significados diferentes). En el contexto relativista, también existe el problema de una formulación manifiestamente invariante de Lorentz.

  3. Aquí está la formulación relativista de Lagrangian Lagrangian más simple (con simetría de Lorentz pero sin simetría de Lorentz manifiesta). Básicamente, esto se reduce a reemplazar las sumas discretas en la mecánica puntual con integrales continuas en la teoría de campos. Ponemos la velocidad de la luz C = 1 a uno por simplicidad. El campo de 3 posiciones r : R 3 × R → R 3 depende de una variable de etiquetado continuo a ∈ R 3 y tiempo t ∈ R . La acción se convierte

    (1) S [ r ]   =   ∫ d t   d 3 a   L ( r ( a , t ) , v ( a , t ) , a , t ) | v = r ˙ ,
    donde la densidad lagrangiana es
    (2) L ( r ( a , t ) , v ( a , t ) , a , t )   =   − m ( a ) γ ( v ( a , t ) ) − ρ ( a )   ϕ ( r ( a , t ) , t ) + ρ ( a )   v ( a , t ) ⋅ A ( r ( a , t ) , t ) ,
    y donde
    (3) γ ( v )   :=   1 1 − v 2
    es el factor gamma. La masa restante metro ( Ω ) y el cargo q ( Ω ) en una región Ω ⊆ R 3 de etiquetado de 3 espacios viene dada por
    (4) metro ( Ω )   =   ∫ Ω d 3 a   m ( a ) y q ( Ω )   =   ∫ Ω d 3 a   ρ ( a ) ,
    respectivamente.

  4. La formulación euleriana es más complicada (ya en el caso no relativista) debido al etiquetado de simetría de calibre, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE y las referencias que contiene. Si el tiempo lo permite, podría escribir la formulación euleriana explícitamente en una actualización futura.

Ya veo, había considerado la vista fluida lagrangiana pero no proyecté el campo de posición r en función del vector de configuración a . Como tal, mi Lagrangiano no tenía sentido al tener referencias inconsistentes a cada vector. Esto tiene mucho sentido ya que el vector de posición es ahora un campo en sí mismo y es claramente el parámetro con respecto al cual se debe variar la acción. Gracias por la respuesta concisa y clara. Tendría curiosidad por ver la forma euleriana si tiene tiempo, pero ya ha respondido satisfactoriamente a mi pregunta y no me ofenderé si no lo hace.
Si no me equivoco, si también permite que las densidades varíen en el tiempo, entonces la ecuación de fuerza resultante tiene una dependencia explícita del vector potencial como − ρ ˙ A , ¿correcto? ¿Hay alguna razón por la que haya fijado las densidades en el tiempo, no es correcto permitir que también dependan del tiempo?
Las densidades de masa y carga, m ( a ) y ρ ( a ) , no dependas de t en el cuadro lagrangiano.
Ah cierto, tendría que expresarlos en términos de r conseguir su dependencia. Culpa mía.
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