¿Qué determina el tiempo de rebote de una pelota elástica?

Considere que una pelota elástica rebota en una superficie plana y dura. Me gustaría reconciliar dos respuestas diferentes a la pregunta "¿cómo depende el tiempo de contacto entre la pelota y la superficie de la velocidad de la pelota?"

La primera solución, que fue la solución aceptada aquí , es que el tiempo de contacto es independiente de la velocidad. Depende del diámetro de la bola y de la elasticidad y densidad de su material. La señal para que la pelota gire es una onda de compresión que viaja a través de la pelota. El medio no es dispersivo.

La segunda solución, que parece más correcta, se basa en la mecánica de contacto hertziana . Afirma que el tiempo de rebote es inversamente proporcional a la quinta raíz de la velocidad de colisión.

Pero, ¿cuál es la falla en el primer análisis? ¿Es dispersiva la velocidad de una onda de compresión a través de una esfera de material homogéneo? ¿La distancia relevante que recorre la onda es igual a la amplitud de la muesca, no al diámetro de la bola? Esto parece ser lo que afirman los autores de la segunda solución, pero no veo cómo se justifica.

Respuestas (2)

Creo que la fuente de discrepancia en el segundo análisis se encuentra en la línea en la que afirman que el momento del impacto está dado por

τ i metro pag ~ h metro a X v

ya que eso ignora el argumento de que el tiempo de impacto debe requerir que la onda de choque viaje al otro extremo de la pelota y regrese. Cuando h << d , entonces para valores v < h d C dónde C es la velocidad del sonido en la pelota, esta ecuación es válida. Pero una vez que es mayor, el tiempo es demasiado corto para que toda la pelota "sepa" que está rebotando. El argumento de los autores se vuelve inválido en este punto.

Creo que hay tres regímenes diferentes:

Primero, trate el sistema como una masa + resorte lineal. Independientemente de la velocidad del impacto, el tiempo de impacto será el mismo. Esto funciona para impactos muy lentos, donde la deformación es muy pequeña pero la frecuencia natural ω = k metro es tal que la onda de choque del impacto rebotaría muchas veces - una situación casi estática

Segundo, agregue el comportamiento no lineal que resulta de la deformación de la bola: a medida que la bola se deforma más, tendrá una constante de resorte más alta. Esto afecta el tiempo, se acortará. Esto lo muestra el τ ~ v − 1 5 relación.

Tercero: la situación en la que la rigidez de la pelota es tal que la pelota permanece en contacto mientras la onda de presión viaja al otro extremo de la pelota y regresa. Una vez más, no dependes de la velocidad. Puede pensar en esto como una situación en la que no se conoce la masa de la pelota en el momento del impacto, porque las partes de la pelota aún no han sido informadas (por la onda de presión) de que la pelota está rebotando y, por lo tanto, no pueden hacerlo. pero contribuir a la dinámica.

Cuál de estos es el mejor régimen depende de las propiedades reales de la pelota: tamaño, densidad, módulo y, en cierta medida, velocidad.

Dos preguntas: ¿Qué pasa con las propiedades de esa "superficie plana dura" que refleja la pelota? Segundo, ¿una onda elástica que se origina en el punto de contacto de la pelota se reflejaría en ese punto de contacto? Dudo que. Una onda que se origina en el centro de la pelota se reflejaría de vuelta en su origen.
@Georg: dado que la pregunta decía "superficie dura", decidí dejar ese aspecto solo y centrarme solo en las propiedades de la pelota. Sí, estrictamente hablando, lo anterior es "más válido" para una barra larga y delgada que para una pelota, pero el principio básico se mantiene: si parte de la pelota aún no es consciente de que se ha producido una colisión, esa masa no puede participar en la ecuación de movimiento. El momento del lanzamiento de la pelota se rige en términos generales por el tiempo de ida y vuelta del sonido a través del diámetro: puede ser un poco menos pero mucho más que h / v .
Para inspirarme sobre cómo tratar problemas como este, miro estos marcos de alta velocidad i.stack.imgur.com/QLmjI.jpg
También existe la consideración de que cuando la pelota no es muy rígida, habrá múltiples impactos secundarios a medida que las ondas de presión rebotan de un lado a otro, por lo que el concepto de "tiempo de contacto" se vuelve indefinido.
@ ja72, ¿está diciendo que en el caso "no muy rígido" la pelota perdería contacto de vez en cuando? No lo creo: la onda reflejada tendrá una presión negativa más baja que la presión de contacto (creciente) que estará presente cuando la onda regrese.
Si el impacto general es largo, por ejemplo, 50 ms, pero el tiempo que tarda la onda de presión en atravesar el objeto es de 5 ms, habrá múltiples pulsos que afectarán la presión de contacto. En algunos casos habrá pérdida de contacto y separación temporal durante el impacto.
Estoy de acuerdo en que habrá múltiples pulsos, pero no estoy de acuerdo en que provoquen la pérdida de contacto.

Creo que debe analizar este problema utilizando el concepto de "Coeficiente de restitución". Probablemente puedas derivar la ecuación usando ese concepto.

Para el periodo de deformación, la ecuación sería:

METRO ∗ V = − ∫ 0 T PAG d t
La ecuación de restitución sería muy similar. Es simplemente el concepto de impulso-momentum.

La compresión de una pelota cuando golpea una pared es similar a la compresión de un resorte. La ecuación anterior muestra claramente que el tiempo de compresión depende de la masa y la velocidad de la bola, así como de alguna fuerza P promedio ejercida por la pared. Pero creo que P también podría expresarse como P(t) o P(x).

La única forma en que el tiempo no dependería de la velocidad es si P siempre fuera igual a V. Se cancelarían. No tiene ningún sentido lógico que el tiempo sea siempre igual a la masa. El tiempo debe depender de la velocidad.

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