¿Comprender la conducción de calor por fonones usando la función de onda de fonones?

Respuesta corta, sí, pero no te da directamente la conductividad térmica.

Puede escribir un hamiltoniano dinámico de celosía como una suma de las energías potencial y cinética de los átomos en el sistema:

$$H =\sum_i\frac{p_i^2}{2m_i} + U$$

Podemos usar la segunda ley de Newton para escribir las ecuaciones de movimiento:

$$m_i\ddot{\mathbf{u}}_i(t) = -\sum_{i'}\phi_{ii'}\mathbf{u}_i(t),$$

dónde$\mathbf{u}$es el desplazamiento del átomo$i$del equilibrio y$\phi$es la matriz de segundo orden de las constantes de fuerzas interatómicas. Estos tienen soluciones de onda plana de la forma,

$$\mathbf{u}_i(t) = \sum_{\mathbf{k},\nu}U(i,\mathbf{k},\nu)\exp{i[\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}_i-\omega(\mathbf{k},\nu)t]}$$

Dónde$U$es una amplitud de movimientos colectivos. Esto se puede reformular como un conjunto de ecuaciones lineales:

$$m\omega^2(\mathbf{k},\nu)\mathbf{e}(i,\mathbf{k},\nu) = \mathbf{D}(\mathbf{k})\mathbf{e}(\mathbf{k},\nu),$$

dónde$\mathbf{D}$es la matriz dinámica, la transformada de Fourier de$\phi$. Puede obtener la derivación de cualquier libro de texto de dinámica de celosía.

El problema es que la solución es solo analítica en la aproximación armónica, por lo tanto, la matriz constante de fuerza de segundo orden . Esencialmente, se supone que la energía potencial de la configuración de equilibrio de los átomos es localmente armónica, lo que generalmente es válido a bajas temperaturas (o para pequeños desplazamientos atómicos). En la aproximación armónica, la vida útil de los fonones es infinita, por lo que no hay disipación de calor en un sólido y debe expandir la energía potencial a órdenes más altos, en cuyo punto la solución ya no es agradable ni analítica. Esencialmente, necesita resolver la ecuación de fonones-Boltzmann, que le permitirá recuperar la vida útil de los fonones, y esto requiere, como mínimo, las constantes de fuerza interatómica de tercer orden.