¿Fluirá una gota de líquido desde la abertura ancha hasta la estrecha de un embudo delgado por efecto de la presión del aire?

Para el caso que ha dibujado, el comportamiento de la gota es exactamente lo contrario de lo que menciona: se moverá de derecha a izquierda .

Esto es causado por la tensión superficial y la curvatura de las tapas de las gotas que crean una mayor presión en la gota en el lado B que en el lado A.

Para hacerlo más cuantitativo. Supongamos que el embudo es axisimétrico tal que el radio del tubo$R$y la pendiente del embudo$\beta$son los únicos parámetros geométricos. La presión del aire en el exterior de la gota es atmosférica.$P_{atm}$y la presión en el interior de la gota en los puntos A y B son$P_A$y$P_B$respectivamente.

Si calculamos el salto de presión capilar a través de las interfaces$A$y$B$obtenemos:

$$P_A-P_{atm}=\Delta P_{c,A}=\frac{2 \gamma}{R_A} \tag{1}$$ y $$P_B-P_{atm}=\Delta P_{c,B}=\frac{2 \gamma}{R_B} \tag{2}$$ dónde $\gamma$es la tensión superficial líquido-gas y $R_A$y $R_B$son los radios de las interfaces gas-líquido circulares.

Si ahora eliminamos$P_{atm}$restando$(1)$y$(2)$encontramos:

$$P_A-P_B=2\gamma \left(\frac{1}{R_A}-\frac{1}{R_B}\right)$$

Porque$R_A>R_B$(como se desprende de su imagen) esto significa que$P_A-P_B<0$lo que dará como resultado un flujo de líquido de derecha a izquierda que impulsa la gota. Un cambio mayor en$R$de$A$a$B$será, es decir, más grande$\beta$, dará como resultado un gradiente de presión más pronunciado.

Tenga en cuenta que he asumido aquí que la situación es como la dibujada en su figura: con curvaturas positivas desde el punto de vista del líquido. Si el ángulo de contacto es tal que la gota tiene curvaturas negativas (es decir, el centro del círculo que describe la interfaz está en el gas), como se muestra a continuación, entonces la gota se moverá hacia la derecha, hacia B.

Coincidentemente, esta semana salió un artículo en Langmuir que describe exactamente este caso, tanto para gotas humectantes como no humectantes. Desafortunadamente, está detrás de un muro de pago, pero para aquellos con un inicio de sesión universitario: Luo et al. 2014, Langmuir , Comportamiento de una gota de líquido entre dos placas no paralelas

Considere este recipiente en aire presurizado pero con gravedad cero (e ignore la tensión superficial, que haría que el líquido se hinchara).

Si su suposición fuera correcta, el líquido saldría a chorros por el pequeño orificio de la derecha, pero eso ignora el papel de la pared de la derecha, que contrarresta la presión de la izquierda. Piensa en el líquido como una colección de cilindros horizontales separados por papel de seda, algunos con una pared a la derecha y otros con un agujero a la derecha. Los que tienen una pared a la derecha no se moverán, y el que tiene un agujero a la derecha tampoco se moverá porque tiene la misma fuerza en ambos lados.

Además, la forma de la pared de la derecha no hace ninguna diferencia. Se puede inclinar como quieras. No forzará el líquido entre los cilindros, porque la presión del fluido en todas partes es igual a la presión del aire.

(Por otro lado, la acción capilar tiene mucho que ver con la tensión superficial, no con el cambio de diámetro del tubo. La acción capilar es cómo las plantas beben contra la gravedad).

No hay una respuesta rápida, excepto si la gota es completamente no humectante o si es al menos parcialmente humectante.

• Si es completamente no humectante, se moverá hacia el lado ancho del embudo hasta que sea una gota esférica tocando solo su pared.

• Si se moja al menos parcialmente, se moverá hacia el lado angosto hasta que alcance su vértice (¡si se permite que el aire fluya, por supuesto!)

• Si es como lo dibujas, la respuesta es depende . Entonces sí hay una distancia óptima$d$de$B$desde el ápice que se puede dar aproximadamente para pequeños$\beta$por

  $$d = \frac{L_0}{\beta} \frac{\cos \theta}{2 \sin \theta + \cos \theta}$$ dónde$\pi/2 \leq \theta \leq \pi$es el ángulo de contacto, y$L_0$la altura de un cono que tiene el volumen de la gota y el ángulo$\beta$. La gota se moverá hacia este equilibrio desde su posición inicial, por lo que será hacia la izquierda o hacia la derecha dependiendo de dónde comience.

Este resultado se obtiene escribiendo la diferencia de presión entre los dos meniscos,

$$\delta p = \frac{\cos(\theta-\beta)}{h_B} - \frac{\cos(\theta+\beta)}{h_A}$$ y que las alturas en el punto B, $h_B \simeq d \beta$, y A, $h_A \simeq h_B + L \beta \simeq h_B + L_0 - \beta d^2$. Entonces uno puede expandir esto para pequeños $\beta$y encontrar el equilibrio.