Ayuda para comprender la ecuación de Bernoulli para flujos no estacionarios

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Ayuda para comprender la ecuación de Bernoulli para flujos no estacionarios

matemáticas54321

Mis preguntas son sobre las definiciones de cada uno de los términos en la ecuación de Bernoulli para flujos inestables, que es la siguiente ecuación (y que se mantiene en todo el fluido):

$p+\frac{1}{2}\rho|\underline{u}|^2+\rho gz+\rho\frac{\partial \phi}{\partial t} = f(t)$ .

Realmente estoy luchando por entender qué representan algunos de estos términos y, por lo tanto, esto afecta mi capacidad para calcular cada uno de ellos. Esencialmente quiero ver si/dónde está fallando mi comprensión. Estas son mis preguntas:

i) Presión, $p$ - En primer lugar, ¿tengo razón al decir que esta es la presión sobre el fluido en un punto dado? Intuitivamente sé que Presión=Fuerza/Área, y más formalmente: $d\boldsymbol{F}_n=-p\boldsymbol{n}dS$ . Entonces, ¿significa esto que queremos calcular la presión sobre un fluido estacionario contenido en una copa cilíndrica de área de sección transversal? $A$ que se llena a la altura $h$ , esta presión sería $p=\rho A(h-z)g+p_{atm}$ dónde $z$ Cuál es la altura a la que estamos calculando la presión?

ii) $|\underline{u}|$ - ¿Es esta la velocidad del fluido en el punto en el que queremos aplicar la ecuación de Bernoulli? Por ejemplo, si drenamos lentamente (desde la parte superior) el agua de un vaso cilíndrico, entonces la velocidad del fluido en el fondo del vaso es $0$ (ya que solo se mueve la parte superior)? Si también tuviéramos fluido oscilando en un tubo en U, ¿sería también la velocidad en el fondo de este tubo? $0$ ?

iii) $\rho gz$ - ¿Tengo razón al decir que si queremos aplicar la ecuación de Bernoulli en altura? $z=0$ , entonces este término es sólo $0$ ?

iv) $\frac{\partial \phi}{\partial t}$ - este es el potencial de velocidad. Digamos que tenemos un fluido que se mueve solo verticalmente y tenemos $\phi=f(z)g(t)$ , dónde $0\leq z\leq h$ . Es verdad $\frac{\partial \phi}{\partial t}=f(z)g'(t)$ - o es $z$ (¿la altura a la que aplicamos la ecuación de Bernoulli?) una función de $t$ ?

Estaría muy agradecido si alguien pudiera aclarar mi comprensión.

Chet Miller

Otra forma de derivar la ecuación que está buscando es escribir la ecuación para la energía cinética total más la energía potencial del fluido en el tubo en U. La tasa de cambio de esta energía total debe ser cero, ya que el fluido no es viscoso. Así que establece la derivada con respecto al tiempo igual a cero. Esto te dará lo que quieres. Luego puede comparar el resultado con la derivación anterior término por término.

matemáticas54321

@ChetMiller ok, gracias, ¿tendría razón al decir que la energía cinética total del fluido en el tubo en U es

1 / 2

$1/2$ densidad

\times

$\times$ volumen de fluido

\times

$\times$ tasa de cambio de altura ^ 2 y la energía potencial es la densidad

\times

$\times$ volumen de fluido

\times

$\times$

g

$g$

\times

$\times$ (altura desplazada - altura de equilibrio)?

Respuestas (1)

Ayuda para comprender la ecuación de Bernoulli para flujos no estacionarios

Otra forma de derivar la ecuación que está buscando es escribir la ecuación para la energía cinética total más la energía potencial del fluido en el tubo en U. La tasa de cambio de esta energía total debe ser cero, ya que el fluido no es viscoso. Así que establece la derivada con respecto al tiempo igual a cero. Esto te dará lo que quieres. Luego puede comparar el resultado con la derivación anterior término por término.
@ChetMiller ok, gracias, ¿tendría razón al decir que la energía cinética total del fluido en el tubo en U es $1/2$ densidad $\times$ volumen de fluido $\times$ tasa de cambio de altura ^ 2 y la energía potencial es la densidad $\times$ volumen de fluido $\times$ $g$ $\times$ (altura desplazada - altura de equilibrio)?

Chet Miller · Answer 1

La restricción en el problema del tubo en U es que la suma de la energía cinética y la energía potencial es constante.

La energía cinética de la pierna izquierda es

\frac{(ρ A_{L} h_{L})}{2} {(\frac{d h_{L}}{d t})}^{2}

$\frac{(\rho A_Lh_L)}{2}\left(\frac{dh_L}{dt}\right)^2$ y la energía potencial de la pierna izquierda es

\frac{ρ gramo A_{L} h_{L}^{2}}{2}

$\frac{\rho g A_Lh_L^2}{2}$ Del mismo modo para la pierna derecha.

La otra restricción es

A_{L} h_{L} + A_{R} h_{R} = A_{L} h_{L 0} + A_{R} h_{R 0}

$A_Lh_L+A_Rh_R=A_Lh_{L0}+A_Rh_{R0}$ donde los subíndices 0 denotan las alturas iniciales.

CONTINUACIÓN DE LA SOLUCIÓN

Con base en las expresiones desarrolladas anteriormente, el total de energía cinética y potencial del fluido en el tubo en U está dado por

mi = \frac{(ρ A_{L} h_{L})}{2} {(\frac{d h_{L}}{d t})}^{2} + \frac{ρ gramo A_{L} h_{L}^{2}}{2} + \frac{(ρ A_{L} h_{R})}{2} {(\frac{d h_{R}}{d t})}^{2} + \frac{ρ gramo A_{L} h_{R}^{2}}{2}

$E=\frac{(\rho A_Lh_L)}{2}\left(\frac{dh_L}{dt}\right)^2+\frac{\rho g A_Lh_L^2}{2}+\frac{(\rho A_Lh_R)}{2}\left(\frac{dh_R}{dt}\right)^2+\frac{\rho g A_Lh_R^2}{2}$ Si tomamos la derivada temporal de E y la igualamos a cero, y hacemos uso de la restricción de que

A_{L} \frac{d h_{L}}{d t} = - A_{R} \frac{d h_{R}}{d t}

$A_L\frac{dh_L}{dt}=-A_R\frac{dh_R}{dt}$ , obtenemos:

\begin{matrix} (1) & \frac{ρ}{2} {(\frac{d h_{L}}{d t})}^{2} + ρ h_{L} \frac{d^{2} h_{L}}{d t^{2}} + ρ gramo h_{L} = \frac{ρ}{2} {(\frac{d h_{R}}{d t})}^{2} + ρ h_{R} \frac{d^{2} h_{R}}{d t^{2}} + ρ gramo h_{R} \end{matrix}

$\frac{\rho}{2}\left(\frac{dh_L}{dt}\right)^2+\rho h_L\frac{d^2h_L}{dt^2}+\rho g h_L=\frac{\rho}{2}\left(\frac{dh_R}{dt}\right)^2+\rho h_R\frac{d^2h_R}{dt^2}+\rho g h_R\tag{1}$ La forma de Bernoulli de esta ecuación es evidente. El término medio en cada lado de la ecuación representa el efecto de aceleración dependiente del tiempo.

La altura en el equilibrio del fluido se determina a partir de la condición de restricción con $h_L=h_R=H$ , dónde

H = \frac{(A_{L} h_{L 0} + A_{R} h_{R 0})}{A_{L} + A_{R}}

$H=\frac{(A_Lh_{L0}+A_Rh_{R0})}{A_L+A_R}$

La condición de restricción siempre se cumplirá exactamente si ahora expresamos $h_L$ y $h_R$ en términos de H y en términos de otro parámetro $\delta$ como sigue:

h_{L} = H + \frac{A_{R}}{(A_{L} + A_{R})} d

$h_L=H+\frac{A_R}{(A_L+A_R)}\delta$ y

h_{R} = H - \frac{A_{L}}{(A_{L} + A_{R})} d

$h_R=H-\frac{A_L}{(A_L+A_R)}\delta$ Si sustituimos estas relaciones en nuestra ecuación diferencial clave. 1, obtenemos una ecuación diferencial en términos de modo que el único parámetro variable en el tiempo

δ

$\delta$ :

\frac{1}{2} \frac{(A_{R} - A_{L})}{(A_{R} + A_{L})} {(\frac{d d}{d t})}^{2} + H \frac{d^{2} d}{d t^{2}} + \frac{(A_{R} - A_{L})}{(A_{R} + A_{L})} d \frac{d^{2} d}{d t^{2}} + gramo d = 0

$\frac{1}{2}\frac{(A_R-A_L)}{(A_R+A_L)}\left(\frac{d\delta}{dt}\right)^2+H\frac{d^2\delta}{dt^2}+\frac{(A_R-A_L)}{(A_R+A_L)}\delta \frac{d^2\delta}{dt^2}+g\delta=0$ Si las dos áreas de la sección transversal son iguales, esto se reduce a

H \frac{d^{2} d}{d t^{2}} + gramo d = 0

$H\frac{d^2\delta}{dt^2}+g\delta=0$ que tiene una solución analítica obvia.

Gracias de nuevo. Solo quiero comprobar si $h_L$ es igual a $H+s_L(t)$ dónde $H$ es la altura en el equilibrio del fluido y $s_L(t)$ es el desplazamiento del fluido en el lado izquierdo? Y por lo tanto, es cierto que la presión en el lado izquierdo a una altura arbitraria $z$ en el fluido es igual a $\rho g(H+s_L-z)$ (+ presión atmosférica) y el potencial de velocidad a una altura arbitraria $z$ en el lado izquierdo es igual a $z\frac{ds_L}{dt}$ ?
Tomé como dato de energía potencial la base del tubo en U. Voy a tomar la derivada de la energía potencial y la igualaré a cero, y pueden ver con qué termino para que podamos comparar mejor. Vuelve más tarde.
Su conclusión sobre la presión es incorrecta. Eso solo es cierto si la aceleración del fluido es cero. Tengo resuelto el resto del problema, pero no tengo tiempo para escribirlo ahora. Vuelve más tarde.
Me sorprende que no hayas comentado mi análisis. ¿Tienes alguna pregunta al respecto?
Perdón por la respuesta tardía, gracias por su ayuda detallada. Mi única consulta sería con respecto a la ecuación. $(1)$ - Entonces, ¿es esta una forma equivalente de la ecuación de Bernoulli inestable, con los términos 1, 2 y 3 siendo $\frac{1}{2}\rho |u|^2$ , $\rho\frac{\partial \phi}{\partial t}$ y $\rho gz$ ¿respectivamente? ¿No hay un término de presión estática, $p$ , porque las presiones en ambos lados son iguales?
Las respuestas a tus preguntas son sí y sí. Simplemente me resulta más fácil derivar la ecuación de esta manera cuando se trata de un comportamiento transitorio.

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Chet Miller

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Chet Miller

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