Fluido en un cilindro giratorio

Tendrás dos fuerzas que actúan sobre un elemento de masa elemental$dm$en la superficie. la fuerza en el$x$-la dirección será$dF_{x}=\omega^{2}xdm$y en el$y$-dirección$dF_{y}=gdm$. Además, sabemos que la pendiente de una curva es$\tan{\alpha}=dy/dx$. Sin embargo, la tangente también es igual a$\tan{\alpha}=dF_{x}/dF_{y}$. Entonces de esto tienes eso

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\omega^{2}x}{g}$$

Después de la integración obtienes

$$y=\frac{\omega^{2}}{2g}x^{2}$$

Que es solo la ecuación de una parábola.

Esta es una derivación bidimensional basada en la interfaz estancada. Una solución más general sería la siguiente. Considere el eje$Oz$a lo largo del eje de los cilindros. En este caso, las componentes de la velocidad serán$v_{x}=-\omega y$,$v_{y}=\omega x$,$v_{z}=0$. Tomando la ecuación de Euler

$$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=-\frac{1}{\rho}\mathrm{grad}p$$

Teniendo en cuenta que$\partial\vec{v}/\partial t=0$, las proyecciones en los tres ejes de la ecuación de Euler son

$$x\omega^{2}=\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx}$$

$$y\omega^{2}=\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dy}$$

$$\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dz}+g=0$$

La solución general de estas ecuaciones es

$$\frac{p}{\rho}=\frac{1}{2}\omega^{2}(x^{2}+y^{2})-gz+C$$

En la superficie libre, donde la presión es constante, la superficie tendrá la forma de un paraboloide.

$$z=\frac{\omega^2}{2g}(x^{2}+y^{2})$$