Digamos que alguien está haciendo girar una masa en una cuerda con un período alrededor. Si es muy grande, la masa describirá un pequeño círculo alrededor de la cintura de la persona. Si es muy pequeño, el plano de movimiento debe estar alrededor de la altura del hombro, siendo el radio real la longitud total del brazo y la cuerda.
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La pregunta pide el ángulo de equilibrio para un dado y . El ángulo se mide entre la persona y su brazo. significa que la cuerda está recta hacia abajo, y significa que la cuerda es paralela al suelo. es la longitud del brazo y la cuerda.
Así que pensé que las dos fuerzas sobre la masa son la gravedad, , y la fuerza centrífuga, . Las dos fuerzas tienen una fuerza resultante, que también actúa en un ángulo sobre la masa.
http://wstaw.org/m/2011/11/27/m33.png
En equilibrio, ambos ángulos tienen que ser iguales. Entonces digo:
http://wstaw.org/m/2011/11/27/m34.png
Para los valores dados, y obtengo un , lo que me parece razonable.
Entonces el problema pide . La pregunta está redactada como pedir problemas, por lo que no me siento mal por mi función dándome .
Pero, ¿cómo se supone que esto tiene algún sentido? Si hago girar la masa más despacio, el ángulo tiene que ser más bajo. Si giro con velocidad casi cero (período infinito ), debería obtener un ángulo alrededor , nada más. Pero el ángulo es exactamente cero para un dado y y luego va imaginario más allá de eso.
¿Alguien puede iluminarme o decirme qué hice mal en la derivación?
Las fuerzas perpendiculares a la cuerda se ven así:
http://wstaw.org/m/2011/11/27/m36.png
(Lo siento, la fuerza de restauración tiene un seno, no una tangente).
La fuerza neta sobre la masa es por lo tanto la diferencia:
http://wstaw.org/m/2011/11/27/m37.png
(Si trazas esto con Sine en lugar de Tangent, sale a 1.22 como ya lo tenía antes).
Estos son los valores de la primera parte del problema, y se pueden ver claramente los dos puntos de equilibrio (incluido el cero).
Si la frecuencia es menor como en la segunda parte, no hay otro equilibrio que no sea cero. Así que no importa cuán grande sea el ángulo, la fuerza restauradora es mayor que la fuerza centrífuga.
http://wstaw.org/m/2011/11/27/m38.png
(Esta imagen también es ligeramente diferente con el seno en lugar de la tangente, pero no cambia las raíces).
Bajo esta luz, el punto de equilibrio imaginario que obtuve anteriormente parece bastante correcto.
Tu análisis es correcto. A velocidades pequeñas, la masa cuelga hacia abajo.
Puede comenzar con su imagen; es bastante engañoso. ( Editar: queueoverflow ahora ha arreglado la imagen!) El texto de su problema asume que su brazo se sostiene exactamente en el mismo ángulo que la cuerda, haciendo efectivamente una cuerda larga. Tu foto muestra una historia diferente.
Si su brazo se mantiene recto, entonces la fuerza centrífuga es , que da el comportamiento que esperas; va a cero como va a cero.
Sin embargo cuando , la cuerda cuelga del eje de rotación. Una imagen mejor tendría la cuerda atada al centro de un disco giratorio en el techo.
Tal combinación de cuerda/disco tiene dos equilibrios a altas velocidades. Uno es ; la cuerda puede colgar hacia abajo. Esta es una solución trivial a su ecuación. El otro tiene la cuerda saliendo disparada en un ángulo que aumenta con . De estas dos soluciones, puedes calcular que la segunda es estable y la primera es inestable.
Sin embargo, como disminuye, el ángulo estable entra y finalmente llega a 0 cuando . A velocidades más lentas, el ángulo estable es cero.
¿Por qué? Piense en ello como un péndulo. El péndulo tiene una fuerza restauradora que es proporcional a su ángulo para ángulos pequeños. Ese es el sello distintivo del movimiento armónico simple. Esa fuerza restauradora es o solo para ángulos pequeños.
Mientras tanto, la fuerza centrífuga tiene una fuerza o solo . Si eso es más pequeño que la fuerza restauradora de la gravedad, la cuerda, cuando se desplaza ligeramente de , sentirá una fuerza restauradora más fuerte que la fuerza centrífuga y volverá al origen.
Alternativamente, deseche el marco giratorio. Solo tienes un péndulo con dos grados de libertad. Una rotación circular lenta debería ser una solución a la ecuación de movimiento, pero hay una frecuencia fija para un tamaño dado del círculo. Para ángulos pequeños, esa frecuencia de rotación debería ser la misma que la famosa frecuencia del péndulo, . Colocar y esa es exactamente la frecuencia que surge de su análisis.
Martín Uding
Martín Uding
Marcos Eichenlaub