Familias de escalas: escalas heptatónicas organizadas por semitonos en su ortografía interválica

Considere una nota como un conjunto de frecuencias, un modo como un conjunto de siete notas y una escala como un conjunto de siete modos. Por lo tanto, C es una colección de frecuencias, CDEFGAB una colección de notas, el modo jónico y sus siete permutaciones cíclicas forman una colección llamada escala mayor.

Ahora, considere una familia de escalas como una colección de escalas que tienen el mismo número de semitonos en su ortografía. Usando esta definición, obtenemos las siguientes familias:

  • Escala de paso (3 miembros): dos m2 y cinco M2.
  • Skip-Scale (20 miembros): tres m2 , tres M2 y un m3.
  • Escala Doble Salto (15 integrantes): cuatro m2 , un M2 y dos m3.

Así que estas son las 38 escalas y 266 modos que se pueden construir utilizando más de un m3 en su ortografía interválica. Este método, sin embargo, le permite ampliar fácilmente estas otras familias con intervalos mayores que un m3:

  • Escala mayor de cuatro pasos (15 miembros): cuatro m2 , dos M2 y uno M3.
  • Escala mayor de cinco pasos (6 miembros): cinco m2 , uno m3 y un m3.
  • Tritono-Escala (1 miembro): seis m2 y un TT.

Y aunque no es heptatónico, para completar todas las grafías posibles de medio paso, debemos incluir

  • Escala Dodecatónica (1 miembro): doce m2 .

Así, el número total de escalas heptatónicas posibles es de 60 que abarcan un total de 420 modos.

¿Alguien puede verificar estos resultados por mí e idealmente señalarme una revista o libro que haya organizado escalas según principios similares, es decir, establecer familias de escalas incluso si no se llaman así?

¿La combinación que llamas salto de escala no tendría que ser de tres m2, tres M2 y un m3 para sumar 12 semitonos?
y ¿por qué considerar combinaciones heptatónicas y dodecatónicas, pero no un número intermedio de notas (por ejemplo, octatónicas - 4 m2 y 4 M2, etc.)?
Gracias por detectar eso; fijado. Estoy trabajando desde una perspectiva de teoría de grupos. En ella, la dodecatónica es la escala matriz y la heptatónica la escala infantil; las escalas octotónicas y otras -tónicas son "primos" pero no forman parte de esta investigación "geneológica"

Respuestas (2)

No me siento cómodo verificando los resultados, solo porque no estoy tan bien capacitado como matemático y me sentiría más cómodo siguiendo ese camino para verificar algo con tantas permutaciones.

Sin embargo, aquí hay algunas fuentes excelentes en el campo de la teoría musical que debería consultar:

  • Carey, Norman y Clampitt, David (1989). "Aspectos de las escalas bien formadas", Music Theory Spectrum 29: 249-70.
  • Clough, John (1979). "Aspectos de los conjuntos diatónicos", Journal of Music Theory 23: 45–61.
  • Clough, John y Douthett, Jack (1991). "Conjuntos máximamente pares", Journal of Music Theory 35: 93-173.
  • Rahn, Jay (1977), "Algunas características recurrentes de las escalas", In Theory Only 2, no. 11-12: 43-52.

Estas son todas las lecturas necesarias para el estudio de la teoría de la escala. (Recomiendo comenzar con el artículo de Clough/Douthett de 1991, que es probablemente el más famoso). También querrá familiarizarse con conceptos como la propiedad de Myhill , la propiedad de escala profunda y la noción de que cardinalidad es igual a variedad .

¡Divertirse!

gracias ricardo Estoy familiarizado con todos estos trabajos. "Mis" familias no se basan en ninguna propiedad de la teoría de conjuntos ni pretenden catalogar todas las combinaciones posibles de notas; solo catalogan las posibles combinaciones de siete intervalos que suman 12 semitonos. Una característica notable de "mi" jerarquía es que coloca 2212221 en un extremo del espectro y 611111 en el otro; si hubiera jerarquías similares, tendrían puntos finales similares y aún no los he encontrado. Pero odiaría atribuirme el mérito de "mi" jerarquía si, de hecho, se ha organizado de esta manera antes.
@RicardoJRademacher Lo tengo; suena como un proyecto interesante! No se me ocurre ningún sistema como el que estás describiendo, pero es posible que desees consultar la noción de "análisis químico" de Howard Hanson en su obra Harmonic Materials of Modern Music de 1960. Se trata de acordes, no de escalas, pero es un enfoque vagamente similar. (Solo lo menciono como algo que debe tener en cuenta, no porque se superponga con su trabajo).
¡Fantástico consejo, gracias! Estoy mirando a Hanson más de cerca (no me había cruzado mucho con él), pero al igual que otros, comparten la filosofía de incluir escalas no heptatónicas en su modelo organizativo, donde me enfoco exclusivamente en escalas heptatónicas a partir de escalas dodecatónicas.
Si bien lo que se indicó anteriormente se refiere al número y valor de cada intervalo en su ortografía, no especificó cómo se organizan esos intervalos. Al hacerlo, se forman "subfamilias". Entonces, por ejemplo, las escalas de salto tienen 20 miembros. Pero esto se organiza en 4 subfamilias y, aquí está la parte interesante, ¡parecemos haber elegido solo UNA escala de cada subfamilia en la música occidental convencional y descartar el resto! Estas subfamilias son: menor armónica (6 miembros), mayor armónica (6 miembros), menor napolitana (6 miembros) y mayor húngara (2 miembros).

Recientemente me interesé en varias escalas heptatónicas diferentes y también en su clasificación.

Aparentemente te falta una familia de cinco m2, una M2 y una P4 (cuarto perfecto) con 6 miembros. Esto totaliza 66 escalas heptatónicas.

El resultado anterior se puede verificar con algo de combinatoria. El razonamiento puede ser así: hay 12!/(5!7!) = 792 formas posibles de elegir 7 notas de 12 notas de escala cromática. Por supuesto, algunos de estos son iguales hasta la permutación cíclica. De hecho, la permutación cíclica a 1, 2, .., 12 posiciones de cualquier elección particular forma una colección de longitud 12 (se puede demostrar que todas las permutaciones cíclicas de cualquier elección son distintas entre sí debido a que 7 y 12 son coprimos). Entonces estas 792 formas se dividen en 792/12 = 66 colecciones.

Familias de escalas: escalas heptatónicas organizadas por semitonos en su ortografía interválica
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