Expresión matemática del almacenamiento de energía

Puede que esté simplificando un poco el problema, pero las leyes de movimiento de una hoja flexible son muy similares a las de un campo clásico. Y el campo clásico está descrito por una densidad lagrangiana de

$$\mathcal{L}(\phi;x,y,t) = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2 - \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 - \left( \frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2\right] - V(\phi)$$

hasta algunas constantes para hacer que las unidades funcionen. Y dado que no tenemos variación de tiempo (supongo que está discutiendo que la membrana no está en movimiento), podemos asumir$\frac{\partial \phi}{\partial t}$sea ​​0. Y cambiaremos el signo solo para simplificar un poco las matemáticas.

Así que ahora tenemos una densidad lagrangiana de:

$$\mathcal{L}(\phi;x,y) = \frac{1}{2} \left[\left( \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2\right].$$

And since we're looking for energy, we'll compute a Hamiltonian density from the Lagrangian, which Should be $\mathcal{H} = \Sigma_i p_i \dot{q}_i - \mathcal{L}(\phi;x,y)$. Como ya no estamos tratando con coordenadas de tiempo, reemplazamos el$\dot{q}$por un$\frac{\partial \phi}{\partial x}$y$\frac{\partial \phi}{\partial y}$. Y nuestro impulso también será algo similar (hasta constantes para fijar nuestras unidades). Entonces la densidad hamiltoniana debería ser algo proporcional a

$$\mathcal{H} = \frac{1}{2} \left[\left( \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2\right].$$

Espero que eso ayude a algunos. Pido disculpas por no incluir las constantes por unidades, pero sean las que sean, deberían tener unidades de energía por unidad de área, ya que$\phi$es esencialmente la elevación o depresión de la membrana por encima de su posición de equilibrio, y tomando una derivada de la posición con respecto a la posición, da un número sin unidades, y esta es una densidad hamiltoniana que debe integrarse sobre su área.

No estoy muy seguro de que todo eso sea exactamente correcto en lo que respecta a las matemáticas, pero me pareció la ruta más sensata. Comente si tiene alguna corrección que aplicaría.