Expresar el operador de proyección de vacío en términos de operador numérico

Question

Expresar el operador de proyección de vacío en términos de operador numérico

vacío
Física
operadores
mecánica cuántica
segunda cuantización

Voluntad

He estado leyendo este libro, en el que el autor expresa el operador de proyección de vacío $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ en términos del operador numérico $\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$ , dónde $\hat{a}^{\dagger}$ y $\hat{a}$ son los operadores habituales de creación y aniquilación, respectivamente. Puedo seguir la mayor parte de la derivación, sin embargo, no entiendo muy bien el siguiente paso:

: Exp {{\hat{a}}^{†} \frac{d}{d Z^{*}}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | Exp {\hat{a} Z^{*}} : |_{Z^{*} = 0} = : Exp {{\hat{a}}^{†} \hat{a}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | : (1)

$:\text{exp}\bigg\lbrace\hat{a}^{\dagger}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\bigg\rbrace\,\vert 0\rangle\langle 0\vert\,\text{exp}\big\lbrace\hat{a}Z^{\ast}\big\rbrace :\bigg\vert_{Z^{\ast}=0} \ = \ :\text{exp}\big\lbrace\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\big\rbrace\,\vert 0\rangle\langle 0\vert : \qquad (1)$ ¿Cómo se pasa del lado izquierdo al lado derecho de esta ecuación? Supongo que hay varios pasos que se han perdido, ¿o me estoy perdiendo algo trivial?

Editar : en caso de que el enlace no se pueda ver, permítanme explicar un poco más los detalles del cálculo, en particular, cómo se llega a la ecuación. (1). Usando la relación de completitud como base de los estados propios de los operadores numéricos, tenemos

1 1 = \sum_{norte, metro = 0}^{\infty} | norte ⟩ ⟨ metro | d_{norte, metro} = \sum_{norte, metro = 0}^{\infty} | norte ⟩ ⟨ metro | \frac{1}{\sqrt{norte! metro!}} (\frac{d}{d Z^{*}})^{norte} (Z^{*})^{metro} |_{Z^{*} = 0} (2)

$1\!\!1 \ = \ \sum_{n,m=0}^{\infty}\vert n\rangle\langle m\vert\,\delta_{n,m} \ = \ \sum_{n,m=0}^{\infty}\vert n\rangle\langle m\vert\,\frac{1}{\sqrt{n!m!}}\bigg(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\bigg)^{n}\big(Z^{\ast}\big)^{m}\bigg\vert_{Z^{\ast}=0}\qquad (2)$ donde hacemos uso de la identidad

\frac{1}{\sqrt{norte! metro!}} (\frac{d}{d Z^{*}})^{norte} (Z^{*})^{metro} |_{Z^{*} = 0} = d_{norte, metro}

$\frac{1}{\sqrt{n!m!}}\bigg(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\bigg)^{n}\big(Z^{\ast}\big)^{m}\bigg\vert_{Z^{\ast}=0} \ = \ \delta_{n,m}$ Luego, usando eso

| n ⟩ = \frac{({\hat{a}}^{†})^{n}}{\sqrt{n!}} | 0 ⟩

$\vert n\rangle =\frac{(\hat{a}^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}\,\vert 0\rangle$ podemos reescribir (2) como

\sum_{norte, metro = 0}^{\infty} \frac{({\hat{a}}^{†})^{norte}}{norte!} | 0 ⟩ ⟨ 0 | \frac{(\hat{a})^{metro}}{metro!} (\frac{d}{d Z^{*}})^{norte} (Z^{*})^{metro} |_{Z^{*} = 0} = \sum_{norte, metro = 0}^{\infty} \frac{({\hat{a}}^{†})^{norte} (\frac{d}{d Z^{*}})^{norte}}{norte!} | 0 ⟩ ⟨ 0 | \frac{(\hat{a})^{metro} (Z^{*})^{metro}}{metro!} |_{Z^{*} = 0} = Exp {{\hat{a}}^{†} \frac{d}{d Z^{*}}} | 0 ⟩ ⟨ 0 | Exp {\hat{a} Z^{*}} |_{Z^{*} = 0}

$\sum_{n,m=0}^{\infty}\frac{(\hat{a}^{\dagger})^{n}}{n!}\,\vert 0\rangle\langle 0\vert\,\frac{(\hat{a})^{m}}{m!}\bigg(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\bigg)^{n}\big(Z^{\ast}\big)^{m}\bigg\vert_{Z^{\ast}=0} \ = \ \sum_{n,m=0}^{\infty}\frac{(\hat{a}^{\dagger})^{n}\big(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\big)^{n}}{n!}\,\vert 0\rangle\langle 0\vert\,\frac{(\hat{a})^{m}\big(Z^{\ast}\big)^{m}}{m!}\bigg\vert_{Z^{\ast}=0} \\[1cm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\, = \ \text{exp}\bigg\lbrace\hat{a}^{\dagger}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Z^{\ast}}\bigg\rbrace\,\vert 0\rangle\langle 0\vert\,\text{exp}\big\lbrace\hat{a}Z^{\ast}\big\rbrace\bigg\vert_{Z^{\ast}=0}$ Esta expresión final ya tiene un orden normal, ya que todos los operadores de creación se colocan a la izquierda de todos los operadores de aniquilación. Como tal, podemos expresar esta última línea como se indica en la ec. (1).

Entiendo esta derivación hasta el lado izquierdo de la ec. (1), simplemente no entiendo cómo el autor llega al lado derecho de la ecuación. (1).

Cosmas Zachos

¿Utilizó la propiedad del orden normal de que todos los conmutadores dentro de :: desaparezcan ?

Cosmas Zachos

Vinculado .

Respuestas (1)

Expresar el operador de proyección de vacío en términos de operador numérico

¿Utilizó la propiedad del orden normal de que todos los conmutadores dentro de :: desaparezcan ?

Ronan · Answer 1

Siempre puedes expandir tus exponenciales para obtener

Exp (a^{†} \frac{d}{d Z^{*}}) = \sum_{norte} \frac{1}{norte!} a^{† norte} \frac{d^{norte}}{d Z^{* norte}}

$\exp(a^\dagger \frac{d}{dZ^*}) = \sum_n \frac{1}{n!} a^{\dagger n} \frac{d^n}{dZ^{*n}}$

Al expandir ambas exponenciales, y dado que el estado de vacío y los operadores de creación no dependen de $Z^*$ , terminas con

Exp (a^{†} \frac{d}{d Z^{*}}) | 0 ⟩ ⟨ 0 | Exp (a Z^{*}) = \sum_{norte, metro} \frac{1}{norte! metro!} a^{† norte} | 0 ⟩ ⟨ 0 | a^{metro} \cdot \frac{d^{norte}}{d Z^{* norte}} Z^{* metro}

$\exp(a^\dagger \frac{d}{dZ^*})|0⟩⟨0| \exp(a Z^*) = \sum_{n,m} \frac{1}{n!m!} a^{\dagger n} |0⟩⟨0| a^m \cdot \frac{d^n}{dZ^{*n}} Z^{*m}$

Tomando $Z^* = 0$ , este último término es distinto de cero sólo cuando $n=m$ , e igual a $n!$ cuando $n=m$ , de este modo

Exp (a^{†} \frac{d}{d Z^{*}}) | 0 ⟩ ⟨ 0 | Exp (a Z^{*}) |_{Z^{*} = 0} = \sum_{norte} \frac{1}{norte!} a^{† norte} | 0 ⟩ ⟨ 0 | a^{norte}

$\exp(a^\dagger \frac{d}{dZ^*})|0⟩⟨0| \exp(a Z^*) |_{Z^* = 0}= \sum_{n} \frac{1}{n!} a^{\dagger n} |0⟩⟨0| a^n$

Aquí, el autor parece suponer que el ordenamiento normal implicaría $a^{\dagger n} |0⟩⟨0| a^n = (a^\dagger a)^n |0⟩⟨0|$ , que podría ser simplemente notación. Reinyectar esto en la expresión anterior te dará el resultado final.

No creo que la última identidad funcione como sugieres. En general, $a^{\dagger n} | 0 \rangle \langle 0 | a^{n} = n! \, |n\rangle \langle n | \neq n! \, (a^{\dagger n} a^{n}) \,|0 \rangle \langle 0 |$ . Creo que el ordenamiento impuesto por los dos puntos $: \ :$ en la expresión (no puedo ver la referencia proporcionada por OP, así que no puedo decir qué orden es) juega un papel en el último paso. En ese caso, la identidad que proporcione será válida de alguna manera una vez que cada lado se ponga en $: \ :$ .
Sí, tienes toda la razón. Sin los dos puntos, $(a^\dagger a) ^n|0⟩ = 0$ de todos modos, ya que primero actuamos en el vacío con un operador de aniquilación. Pero supongo que este es más o menos el enfoque que tomó el autor para derivar su expresión.
@Ronan Lo que me confunde es que para llegar al lado izquierdo de la ecuación en mi OP, el autor ya usa la expansión que sugieres en tu respuesta. Luego usan ese argumento para mostrar que la expresión ya está en orden normal, lo que les permite reescribirla como lo puse en el lado izquierdo de la ecuación en mi OP. ¿Por qué iban a deshacer esto inmediatamente de nuevo? ¿Cómo permite el ordenamiento normal volver a expresarlo tal como está en el lado derecho de la ecuación?
Lamentablemente, el enlace a su libro tiene acceso limitado, por lo que no puedo ver lo que escribió el autor. Pero el orden normal es cuando el $a^\dagger$ Los operadores están a la izquierda del $a$ operadores. No veo cómo sería un argumento pasar del lado izquierdo al lado derecho de la ecuación.
He corregido la última parte de mi respuesta, ya que hubo un error en la derivación.
@Ronan Gracias por tu respuesta. ¿Viste la edición de mi OP? He agregado los detalles del cálculo dado en el enlace. Sin embargo, siento que debe haber algo más, ya que de lo contrario, ¿cuál era el punto de presentar alguna vez el $Z^{\ast}$ ¿identidad? Se podría llegar a este resultado sin él en absoluto.

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