¿Qué significa el ordenamiento de los operadores de creación/aniquilación?

OP básicamente está pidiendo una comprensión intuitiva de los pedidos de los operadores. Bueno, el mundo cuántico es algo que los terrícolas notoriamente no entendemos bien. A menudo comenzamos con un modelo clásico con cantidades de conmutación. La próxima vez que queramos cuantizar el modelo, al principio no sabemos de qué manera debemos ordenar los operadores cuánticos correspondientes que no conmutan.

Diga por simplicidad que el hamiltoniano clásico$H=AB$es un producto de dos cantidades clásicas$A$y$B$. Y digamos que los dos operadores cuánticos correspondientes$\hat{A}$y$\hat{B}$tener un conmutador de número c$[\hat{A},\hat{B}]~\propto~ \hbar{\bf 1}$.

Inicialmente, hay muchas formas de elegir un orden de operadores y elegir una representación (ket-space), sobre la cual actúan los operadores cuánticos. Digamos que hemos elegido una noción específica de ordenamiento que llamamos ordenamiento normal.$:\hat{A}\hat{B}:$, y decir que hemos elegido una noción de vacío espacial de Fock. Para parametrizar nuestra ignorancia, ahora introducimos un parámetro de número c$c$, y defina el hamiltoniano cuántico como

De esta forma, si hemos hecho una elección incorrecta al ordenar los operadores normalmente, siempre podemos absorber el error en la definición del parámetro del número c$c$.

A menudo se pueden limitar las opciones posibles de$c$además exigiendo la hermiticidad de$\hat{H}$e imponer otros requisitos físicos. Por ejemplo, en la teoría de cuerdas (bosónica), un llamado parámetro de intersección similar$a$está completamente fijado por los requisitos de consistencia (simetría de Lorentz en la formulación del cono de luz; nilpotencia de la carga BRST en la formulación covariante), véase el capítulo 2 y 3 en Green, Schwarz y Witten, "Teoría de supercuerdas", vol. 1.

Una historia similar es válida para los operadores fermiónicos.

Debido a que el OP solicita una interpretación del pedido normal, me gustaría comentar que el pedido normal en QFT es el mismo luego de restar el valor de expectativa de vacío (que supongo que a veces se llama producto Wick).

Es decir, si tiene un campo cuántico relativista libre (bosónico o fermiónico no hace una diferencia real)$\phi(x)$que escinde en una creación una parte de aniquilamiento$\phi_+$y$\phi_-$es fácil de comprobar usando$\phi_-(x)\Omega=0$y algún cálculo formal que en realidad

Tenga en cuenta también que$\phi^2(x):=\lim_{y\to x}:\phi(x)\phi(y):$(o un polinomio general de Wick) define un nuevo campo de Wightman que se encuentra en la misma "clase de Borchers", es decir, es relativamente local para$\phi$, mientras que el cuadrado normal solo daría infinito y no tiene sentido.

Los productos de estos operadores describen transiciones de partículas de un estado a otro, nada más. QFT trata sobre la evolución de poblaciones de estados de partículas debido a interacciones. Considere una teoría potencial regular de dispersión de partículas no relativistas (sin operadores de creación/aniquilación) y luego reescríbala formalmente con la ayuda de esos operadores para ver qué sucede. Tenga en cuenta que solo la expresión completa tiene sentido.

EDITAR: en una descripción habitual, el momento de la partícula cambia en el curso de la dispersión:$p = p(t)$. En la descripción del operador, la partícula con$p(t_1)$desaparece y la partícula con$p(t_1+dt)$aparece en el curso de la interacción.