Explicación intuitiva de la inercia rotacional con respecto al momento angular

Generalizamos el resultado de la segunda respuesta que vinculó:

$$\vec{L}=\sum_i \left(\vec{r}'+\vec{{r}_i}' \right)\times \vec{p_i}=\vec{r}' \times \sum_i \vec{p_i}+\sum_i \vec{{r}_i}'\times\vec{p_i}=\vec{r}' \times \sum_i \vec{p_i}+\vec L'$$

Ahora$\vec{r}'$es un vector arbitrario, no solo el vector al centro de masa. Así, cuando el sistema se mueve y la suma de los momentos no es cero, el momento angular depende de la elección del origen del sistema de coordenadas. Cuando$\sum \vec p_i$es cero entonces tenemos por otro lado

$$\vec L = \vec L'.$$

La intuición detrás de esto es la siguiente: suponga que tiene uno de esos juguetes en los que puede equilibrar una cosa con un imán para que se mueva libremente (google "Levitron"). Luego haces girar el objeto que se mueve libremente. Como solo gira y no se mueve, la suma de los momentos es cero. Desde tu punto de vista, entonces calculas$\vec L$.

Ahora mueves tu silla un metro a la izquierda ($\vec r_i = \vec r_i' + \vec r'$) y calcular$\vec L'$. Si

$$\vec L \neq \vec L'$$ entonces esto significaría que se ha aplicado un par de torsión sobre el objeto. Pero no tocaste el objeto, solo moviste el sistema de referencia. Esta es la razón por $\vec L=\vec L'$para sistemas que están en reposo: de lo contrario se aplicaría un par simplemente cambiando el origen del sistema de referencia.

Editar (parte de inercia):

Creo que ayudaría notar que el momento de inercia por definición siempre se define en el marco donde el centro de masa está en reposo, de modo que el origen del sistema de coordenadas fijo del cuerpo es el centro de masa. Por lo tanto, es una "propiedad del cuerpo", por así decirlo.

El teorema de los ejes paralelos es necesario cuando el origen del marco fijo del cuerpo no está, por la razón que sea, en el centro de masa, sino en algún otro punto. Con el teorema de los ejes paralelos, puede calcular el momento de inercia con respecto al centro de masa:

$$I′=I+md^2$$ , a partir de esto se puede calcular $I$.

Intuitivamente, el movimiento de un cuerpo rígido se divide entre traslación del centro de masa y rotación alrededor del centro de masa. La inercia intrínseca sobre esos dos movimientos son la masa y el momento de inercia de la masa.

Rotar un cuerpo sobre cualquier otro punto lejos del centro de masa significa que el centro de masa tiene que trasladarse además de la rotación. Esto significa que el momento de inercia de la masa efectiva con respecto a cualquier otro punto debe incluir el efecto del movimiento lineal del centro de masa. Esto aumenta el valor del MMOI a medida que nos alejamos del centro de masa utilizando el teorema del eje paralelo.

En el mundo de la cantidad de movimiento, la cantidad de movimiento intrínseca de un cuerpo rígido es el par de vectores

$$\vec{P} = m \vec{v}_{cm} \\ \vec{L}_{cm} = I_{cm} \vec{\omega}$$

Si el centro de masa gira alrededor de otro punto, el movimiento de masa es

$$\vec{v}_{cm} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$ _{Aquí$\vec{r}$representa la posición del centro de masa en relación con el centro de rotación.}

El momento lineal se define entonces como

$$\vec{P} = -m \vec{r} \times \vec{\omega}$$

El momento angular alrededor del punto de rotación tiene que incluir el momento lineal del centro de masa por

$$\vec{L} = \vec{L}_{cm} + \vec{r} \times \vec{P}$$ $$\vec{L} = I_{cm} \vec{\omega} - m \vec{r}\times \vec{r}\times \vec{\omega}$$ $$\vec{L} = \left(I_{C}+m\|\vec{r}\|^{2}\mathrm{1}_{3\text{×}3}\right)\vec{\omega}$$

_{Lo anterior considera$\vec{r}\cdot\vec{\omega}=0$ya que la rotación sobre puntos paralelos al eje de rotación no cambia el problema. De ahí el nombre del eje paralelo.}

Esta es una forma del teorema del eje paralelo que nos da el momento angular con respecto al centro de rotación.