¿Cómo se conserva el momento angular cuando se libera la masa?

Veamos un ejemplo similar: dos personas en patines que van con cierta velocidad uno hacia el otro, ambos un poco a la izquierda de su centro común, y en el momento del acercamiento más cercano, simplemente se toman con los brazos derechos y comienzan a girar. .

De hecho, tienen (como un sistema) el mismo momento angular todo el tiempo.

Cuando tienes un proyectil que apunta un poco descentrado hacia el objetivo, el momento angular del sistema es distinto de cero. Creo que lo encuentras bajo el parámetro de colisión de nombres, generalmente$b$. Si el parámetro de colisión es cero, el momento angular es cero.

El martillo y el lanzador es solo una situación inversa en el tiempo. Momento angular conservado. Podría disipar algunos de los fragmentos de energía que le quedan en el suelo.

Para restringir mejor el problema : imagine que no existe nada más en el universo, solo el martillo y el lanzador. Olvídese de cualquier rotación de martillo o lanzador. Por toda la eternidad el sistema de martillo+lanzador mantendrá el momento angular total. Una vez que retira su lanzador del sistema, es otro ejercicio.

Pequeña observación: el momento angular no está parcialmente allí y allí, el sistema completo lo tiene.

La misma imagen está en las primeras páginas de los libros de texto de física nuclear , partícula$a$yendo al núcleo$C$un poco fuera del eje. La distancia entre el centro de$C$y eje de vuelo es que$b$. Y ha definido el momento angular del sistema.$=b \cdot p$para cualquier situación, cualquier fuerza entre$a$y$C$, en cualquier momento antes o después. Tenga en cuenta que en un universo vacío, el lanzador no puede lanzar correctamente un martillo partiendo del reposo (debido a la conservación).

Ahora, después de soltar el martillo, el lanzador todavía tiene su mismo momento angular (también 62.8), pero el martillo parece no tenerlo.

Un cuerpo no tiene momento angular con respecto a un punto C solo cuando gira alrededor de él, sabes que los planetas tienen órbitas elípticas y tienen L

Si un cuerpo H tiene un momento lineal p, también tiene un momento angular L (puede decir virtual para tener una comprensión intuitiva) en cualquier punto del espacio. Puede decir que no tiene L (o L= 0) cuando el punto C se encuentra en su trayectoria, como el cuerpo B en el croquis:

la fórmula es$L =mvr$y r es la distancia entre H y la paralela a su trayectoria que pasa por el punto C.

Si el martillo se acerca al punto C ($H_1$) en$v = 2\pi$, es ($H_2$) dando vueltas / orbitando alrededor de C o vuela fuera de la tangencial ($H_3$) a la misma velocidad su L no cambiará:$L = p*r= 10*2\pi*1= 20\pi$. Si su velocidad cambia, L cambiará en consecuencia, pero solo si una fuerza externa actúa sobre él. De la misma manera, el lanzador alterará su L si deja de girar después de soltar el martillo.

Si examina el dibujo verá que si considera la distancia real D de H a C y la multiplica (o el vector v) por el seno del ángulo que forma el vector con la línea HC (=D) el valor de el momento angular no cambia

Ahora, después de soltar el martillo, el lanzador todavía tiene su mismo momento angular (y tiene que reducir la velocidad), pero el martillo parece no tenerlo.

Aunque el martillo no gira alrededor del eje, todavía tiene el mismo momento angular que tenía al soltarlo con respecto al eje original .

Entonces la fórmula

$$L = mvd$$ es correcto tanto para una masa puntual que orbita un eje en un radio dado $d$, o para una masa puntual que se mueve en línea recta, con $d$siendo la distancia de máxima aproximación al eje de consideración.

Entonces, el momento angular se conserva y está parcialmente tanto en el martillo como en el lanzador.

¡El momento angular se conserva en este ejemplo!

Como ya dijiste, el momento angular del lanzador no cambia después de soltar el martillo.

Considere que el martillo gira alrededor del origen de nuestro sistema de coordenadas para$t < 0$:

$$\vec{r}(t) = r_0 \ \ (cos(\omega t), sin(\omega t), 0)^T$$ . Por lo tanto, su cantidad de movimiento está dada por: $$\vec{p}(t) = m \vec{v} = m \dot{\vec{r}} = m r_0 \omega \ \ (-sin(\omega t), cos(\omega t), 0)^T$$ Ahora sabemos que su momento angular está dado por: $$\vec{L}(t) = \vec{r}(t) \times \vec{p}(t) = m r_0^2 \omega \ \ (0,0,1)^T$$

Suponga que el martillo se suelta en$t=0$. Luego viajará en línea recta, paralela a$\vec(p)(0)$. Uno puede expresar este movimiento por:

$$\vec{r}\ '(t) = \vec{v}\ ' \cdot t + \vec{r}(0) = \frac{\vec{p}(0)}{m} \cdot t + \vec{r}(0) = r_0 \ \ (1, \omega t, 0)^T$$ Claramente tiene el impulso: $$\vec{p}\ '(t) = \vec{p}(0) = m r_0 \omega \ \ (0, 1, 0)^T$$ Por cálculo se obtiene el momento angular después del lanzamiento $$\vec{L}\ '(t) = \vec{r}\ '(t) \times \vec{p}\ '(t) = m r_0^2 \omega \ \ (0,0,1)^T$$ , que es el mismo que antes del lanzamiento.

En general, no es necesario conservar el momento angular en todos los procesos. Solo si la acción subyacente (en términos del formalismo lagrangiano) es invariante bajo la rotación alrededor de un eje, se conserva el momento angular en la dirección de ese eje.

Cuando el lanzador de martillo balancea el martillo, según el teorema de Steiner , el momento de inercia del sistema se combina desde un punto de masa a una distancia del centro de rotación y el cuerpo girando alrededor de su centro de masa.

$$I = I_c + m \times r^2$$ por lo que nuestro momento de inercia completo se combina a partir de 4 partes.

$$I_{\text{complete}} = (I_{c_1} + m_1 \times r_1^2) + (I_{c_2} + m_2 \times r_2^2)$$

A partir de esto podemos calcular el momento angular.

Cuando se suelta el martillo, el momento angular se divide para ambos objetos. Ambos permanecen girando alrededor de su centro de masa, pero el momento angular restante (de$m \times r^2$) se convierte en momento lineal.