Expansión multipolar en coordenadas cilíndricas

Question

Expansión multipolar en coordenadas cilíndricas

Física
potencial
condiciones de borde
expansión multipolar

Ragnar

Estoy buscando la solución general para la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas o

\nabla^{2} ω = 0.

$\nabla^2 \omega = 0.$

En varios textos, la solución general se puede encontrar mediante la separación de variables y obtengo la solución general

ω = (A_{0} + B_{0} θ) (C_{0} + D_{0} en r) + \sum_{norte = 1}^{\infty} (A_{norte} porque (λ_{norte} θ) + B_{norte} pecado (λ_{norte} θ)) (C_{norte} r^{λ_{norte}} + D_{norte} r^{- λ_{norte}})

$\omega = (A_0+B_0\theta)(C_0+D_0 \ln r) + \sum_{n = 1}^\infty (A_n\cos(\lambda_n\theta)+B_n\sin(\lambda_n\theta))(C_nr^{\lambda_n}+D_nr^{-\lambda_n})$

En esta solución general, la mayoría de los términos están representados por la expansión multipolar exterior e interior excepto por $B_0D_0\theta\ln r$ . Así que mi primera pregunta es ¿por qué aparece este término y por qué no está incluido en la expansión multipolar? Dado que la expansión multipolar es una base ortogonal, ¿no debería cubrir todas las soluciones posibles?

Otro problema que tengo es que he encontrado que

ω = - \frac{2}{r} [A_{1 L} porque (θ) + B_{1 L} pecado (θ) + C_{1 L} (θ porque (θ) - pecado (θ) en r) + D_{1 L} (porque (θ) en r + θ pecado (θ))]

$\omega = -\dfrac{2}{r} [A_{1L} \cos(\theta) + B_{1L} \sin(\theta) + C_{1L}(\theta \cos(\theta)- \sin(\theta) \ln r) + D_{1L}( \cos(\theta) \ln r + \theta \sin(\theta))]$

es una solución a la ecuación de Laplace. Esto se obtuvo tomando el laplaciano de una solución de $\psi$ dónde $\nabla^4 \psi = 0$ . Específicamente veo términos con $\dfrac{\ln r}{r}$ aparecer. ¿Se ha discutido esta solución en alguna parte y cómo encaja en la expansión multipolar exterior/interior?

EDITAR: ecuación modificada para agrupar claramente los términos armónicos

Emilio Pisanty

Tu primera expresión es la solución general. ¿Puede señalar las referencias que no incluyen los términos que le interesan? Daría una mejor idea del contexto. Sin embargo, no está claro cuál es su segunda expresión. ¿Estás afirmando que es una función armónica? (No lo es.) ¿Qué ecuación, específicamente, satisface?

Ragnar

@EmilioPisanty Tenía la impresión de que una función que satisface la ecuación de Laplace es armónica. En coordenadas cilíndricas la segunda expresión satisface

\nabla^{2} ω = 0

$\nabla^2 \omega = 0$ . La segunda expresión se obtuvo de Teoría de la elasticidad de Borodich en la página 228 disponible en este enlace: google.com/…

Ragnar

@EmilioPisanty Borodich proporciona una solución general a la ecuación biarmónica

\nabla^{4} ψ = 0

$\nabla^4 \psi = 0$ . Así si defino

ω = \nabla^{2} ψ

$\omega = \nabla^2 \psi$ , entonces

\nabla^{2} ω = 0

$\nabla^2 \omega = 0$ . La segunda expresión en mi pregunta se obtuvo tomando el laplaciano de parte de la solución general de

ψ

$\psi$

Emilio Pisanty

Comentario rápido: en realidad no es necesario que mencione ediciones específicas, a menos que crea que generaría confusión. El historial de revisión de cada publicación está disponible haciendo clic en el edited ... agoenlace a la izquierda del nombre de usuario del autor. También puede marcar los comentarios no tan útiles del administrador, etc., como este, como obsoletos una vez que los lea, usando la bandera a la izquierda, y ayudará a mantener el sitio más limpio. También debería poder votar a favor y en contra de las publicaciones ahora.

Respuestas (2)

Expansión multipolar en coordenadas cilíndricas

Tu primera expresión es la solución general. ¿Puede señalar las referencias que no incluyen los términos que le interesan? Daría una mejor idea del contexto. Sin embargo, no está claro cuál es su segunda expresión. ¿Estás afirmando que es una función armónica? (No lo es.) ¿Qué ecuación, específicamente, satisface?
@EmilioPisanty Tenía la impresión de que una función que satisface la ecuación de Laplace es armónica. En coordenadas cilíndricas la segunda expresión satisface $\nabla^2 \omega = 0$ . La segunda expresión se obtuvo de Teoría de la elasticidad de Borodich en la página 228 disponible en este enlace: google.com/…
@EmilioPisanty Borodich proporciona una solución general a la ecuación biarmónica $\nabla^4 \psi = 0$ . Así si defino $\omega = \nabla^2 \psi$ , entonces $\nabla^2 \omega = 0$ . La segunda expresión en mi pregunta se obtuvo tomando el laplaciano de parte de la solución general de $\psi$
Comentario rápido: en realidad no es necesario que mencione ediciones específicas, a menos que crea que generaría confusión. El historial de revisión de cada publicación está disponible haciendo clic en el edited ... agoenlace a la izquierda del nombre de usuario del autor. También puede marcar los comentarios no tan útiles del administrador, etc., como este, como obsoletos una vez que los lea, usando la bandera a la izquierda, y ayudará a mantener el sitio más limpio. También debería poder votar a favor y en contra de las publicaciones ahora.

Emilio Pisanty · Answer 1

La expresión que das es de hecho la solución general para una función armónica (es decir, $\nabla^2 f=0$ ) en dos dimensiones. La solución $f=\theta\ln(r)$ generalmente se omite porque no se puede sostener como una función periódica durante un $2\pi$ rango en $\theta$ .

Además, incluso si tiene un rango limitado en $\theta$ , este término es singular en el origen, lo que refleja el hecho de que si coloca dos placas en un ángulo con diferentes potenciales electrostáticos (por ejemplo), la solución será singular porque sus condiciones de contorno son discontinuas.

Sin embargo, para las regiones que también están limitadas en $r$ (es decir $0\leq \theta\leq\theta_0<2\pi$ , $r>r_0>0$ ) este término es una parte crucial de la solución y es trivial construir condiciones de contorno que no se pueden igualar sin él.

Si tiene libros que afirman lo contrario, es decir, que omiten este término en situaciones que incluyen una cuña con un rango limitado en $\theta$ , y sin las condiciones de contorno apropiadas para descartarlo, entonces están equivocados. La mayoría de los recursos que conozco no entran en esta categoría, pero si tiene ejemplos específicos, podemos comentar los detalles de esos.
(Disculpas por haber perdido algunos términos en una versión anterior. Tómalo como una oportunidad de aprendizaje: mostrar una gran cantidad de términos sin indicar explícitamente qué términos se repiten puede hacer que las personas malinterpreten tu trabajo, y lo hará. La comunicación es un proceso bidireccional. pero debe hacer que sus expresiones sean tan fáciles de leer (o tan difíciles de malinterpretar) como sea posible).

Las funciones
$\begin{aligned} ω_{1} = \frac{porque (θ) en r + θ pecado (θ)}{r} y ω_{2} = \frac{- pecado (θ) en r + θ porque (θ) pecado (θ)}{r} \end{aligned}$ $\begin{align} \omega_1 = \frac{\cos(\theta) \ln r + \theta \sin(\theta)}{r} \quad\text{and}\quad \omega_2 = \frac{ - \sin(\theta) \ln r +\theta \cos(\theta)\sin(\theta)}{r} \end{align}$ son de hecho armónicos. No se incluyen explícitamente en la expansión multipolar porque no son separables, no se pueden expresar en la forma $\omega=R(r) \Theta(\theta)$ . (Las dos primeras funciones, en $A_{1L}$ y $B_{1L}$ , se incluyen explícitamente en él).

Dado que la expansión multipolar es una base, las dos funciones anteriores siempre se pueden expresar en términos de ella, es decir, se pueden representar como una serie multipolar si así se desea. Tenga en cuenta, sin embargo, que para que esta función esté permitida, necesita un rango limitado en $\theta$ , de la forma $\theta_0<\theta<\theta_1<2\pi+\theta_0$ , o tendrá una función discontinua (o, en el mejor de los casos, una derivada discontinua).

Dependiendo de la situación exacta, también deberá trabajar en un dominio que está delimitado desde abajo en $r$ , o el $\omega_i$ tendrá energía infinita. Ambas restricciones obviamente afectan los detalles de la ortogonalidad de los componentes multipolares, por lo que deberá trabajar un poco más para que la expansión funcione. No publicaré ese proceso aquí porque depende exactamente del dominio que desee, y depende de usted hacer el trabajo pesado. Si te quedas atascado puedes preguntarlo aquí, por supuesto.

1. Gracias por la explicación sobre $\theta \ln r$ . Supongo que en su mayoría no está incluido en la discusión ya que la mayoría de los problemas consideran la región 0 a $2\pi$ . Con respecto a la polivalencia en el origen, no creo que sea un problema ya que el laplaciano se rompe en $r = 0$ dado que en coordenadas cilíndricas el laplaciano contiene un $1/r$ término.
2: Si bien es cierto que el término individual $\dfrac{\cos(\theta)\ln(r)}{r}$ no es armónico, toda la segunda expresión para $\omega$ en mi pregunta es. Creo que es similar a cómo un término individual de la expansión multipolar no es armónico, por ejemplo, el dipolo $\left(\nabla^2 \dfrac{A\cos(\theta)+B\sin(\theta)}{r} \neq 0\right)$ , mientras que la suma de todos los términos converge a la solución armónica exacta.
Si hay restricciones entre los coeficientes, debe mencionarlo en la pregunta. De lo contrario, soy libre de establecer todos los coeficientes menos ese demasiado cero y obtener una contradicción a su afirmación.
No es un problema de multivalores, es el hecho de que tienes dos placas de metal con diferente potencial tocándose entre sí. Esta no es una condición física: requiere energía infinita y un dieléctrico infinitamente delgado e infinitamente resistivo entre ellos. Es útil pensar en un límite, pero pagas por la simplicidad en la singularidad.
Hasta donde yo sé, los términos proporcionales a $\theta$ SIEMPRE se omiten para que $\theta$ es de un solo valor (Jackson 3.8). es el término $A_0D_0\ln{r}$ que se necesita para hacer coincidir las condiciones de contorno cuando se excluye un radio. Si de hecho puede construir trivialmente condiciones de contorno que requieren el lineal $\theta$ término, sería educativo para mí y quizás para otros verlos. Como las funciones de Fourier son completas en $\theta$ , soy escéptico. Asimismo, la función en $r=0$ no tiene un solo valor si hay alguna $\theta$ dependencia allí, lineal o de otro tipo.
Finalmente, creo que deberías mirar de nuevo la segunda solución del Sr. Z. No hay un solo término $\frac{\cos(\theta)\ln(r)}{r}$ que es independiente - el término real para $D$ es $\frac{\cos(\theta)\ln(r)+\theta\sin(\theta)}{r}$
@user27118 Términos proporcionales a $\theta$ debe omitirse en nombre de un solo valor solo cuando se resuelve en todo el plano. Esto es lo que hace, por ejemplo, Jackson, pero no es necesario. Como insiste en un ejemplo específico, considere la ecuación de Laplace en una caja de arco cilíndrico dada por $D = {(r, θ) : 0 < r_{1} < r < r_{2} < \infty, 0 < θ < θ_{0} < 2 π},$ $D=\{(r,\theta) : \ 0<r_1<r<r_2<\infty,\ 0<\theta<\theta_0<2\pi\},$ bajo condiciones de contorno de Neumann en el $\theta=\text{const}$ paredes y las condiciones de Dirichlet $\varphi(r,0)=\varphi_1<\varphi_2=\varphi(r,\theta_0)$ en las paredes radiales. (Es decir, paredes interiores y exteriores aislantes, ...
... extremos establecidos en diferentes potenciales.) Las funciones de Fourier, trigonometría pura, no están completas en ese dominio. Todo esto ya está explicado en la respuesta. En cuanto a sus preocupaciones sobre $r=0$ , si notará que está (y fue) explícitamente descartado. Sin embargo, es relativamente inofensivo permitir este término en tales situaciones (cuñas en $\theta$ que llegan al origen, con diferentes potenciales en las dos paredes) en el entendimiento de que está imponiendo condiciones discontinuas de Dirichlet y que esto inevitablemente causará algunos estragos en su solución.
@MrZ. Ver respuesta modificada. También tenga en cuenta que su segundo comentario aquí no es del todo correcto: las funciones dipolo son armónicas.
@EmilioPisanty ¡Gracias! Su respuesta modificada es mucho más clara. Tienes razón en que mi pregunta original era propensa a la falta de comunicación y he solucionado la pregunta para cualquiera que visite esta página más tarde.

usuario27118 · Answer 2

usuario27118

$B_0 \theta$ no es periódico en $\theta$ por lo que este término es siempre cero. De lo contrario, no puede coincidir con las condiciones de contorno. $\omega(\theta+2\pi)=\omega(\theta)$ . La misma lógica elimina $C$ y $D$ en su segunda solución. Lo que queda es sólo un caso particular de la primera solución general.

Ragnar

Gracias por la respuesta, pero ¿por qué

ω

$\omega$ hay que periodico? ¿Qué pasa si solo estoy considerando una cuña donde

0 \leq θ \leq 2 π

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ ?

usuario27118

Su expansión multipolar no sería la base para tal espacio, que es un espacio muy extraño en verdad. Para coordenadas cilíndricas,

ω

$\omega$ debe aceptar todos los valores reales de

r

$r$ ,

θ

$\theta$ , y

z

$z$ . En un problema físico que involucre alguna cuña, podríamos buscar una función sujeta a las condiciones

ω = ω (θ)

$\omega = \omega(\theta)$ en la cuña y constante (probablemente 0) fuera. el lineal

θ

$\theta$ los términos aún deben ser cero en ese caso.

Ragnar

Si prescribe una constante fuera de la cuña, probablemente dará como resultado una discontinuidad en los límites de la cuña, lo que creo que causará problemas. La forma en que me he acercado a un problema de cuña es hacer coincidir las condiciones de contorno de la cuña definida por

0 \leq θ \leq ϕ

$0 \leq \theta \leq \phi$ . La solución dentro de esta cuña es válida, pero descarto la solución para

θ > ϕ

$\theta > \phi$ o

θ < 0

$\theta < 0$ . No estoy seguro de que esto sea mejor, pero ignora la discontinuidad en

θ + 2 π

$\theta + 2\pi$

Ragnar

En realidad, creo que su método y el mío pueden ser similares en el sentido de que ignoran todo lo que esté fuera de la cuña, solo que lo hace al establecerlo en 0. Sin embargo, ¿podría explicar por qué establecer el espacio fuera de la cuña en 0 forzaría el

θ

$\theta$ términos a 0?

usuario27118

¿Qué sucede cuando recorres el círculo por completo? la restricción

0 < θ < θ_{0}

$0<\theta<\theta_0$ no es físico - la restricción real tendría que ser

0 < θ < θ_{0}

$0<\theta<\theta_0$ O

0 < θ \pm 2 π < θ_{0}

$0<\theta \pm 2\pi <\theta_0$ O

0 < θ \pm 4 π < θ_{0}

$0<\theta \pm 4\pi <\theta_0$ O...

Ragnar

Ah, creo que entiendo. Para aclarar, creo que quisiste decir que la restricción tendría que ser

0 \leq θ \leq θ_{0}

$0 \leq \theta \leq \theta_0$ , o

\pm 2 π \leq θ \pm 2 π \leq θ_{0} \pm 2 π

$\pm 2\pi \leq \theta \pm 2\pi \leq \theta_0 \pm 2\pi$ etc. Esto es interesante ya que asumo que la ecuación biarmónica (

\nabla^{4} ψ = 0

$\nabla^4 \psi = 0$ ) tendría que satisfacer restricciones similares; sin embargo, he visto varios artículos clásicos que incluyen los términos proporcionales a

θ

$\theta$

Emilio Pisanty

la restricción

0 < θ < θ_{0}

$0<\theta<\theta_0$ es perfectamente razonable; nada te obliga a resolver la ecuación de Laplace en todo el plano. Esta respuesta es incorrecta o, en el mejor de los casos, engañosa e incompleta.

Ragnar

@EmilioPisanty La forma en que he llegado a entender este problema es que

θ

$\theta$ ,

θ \pm 2 π

$\theta \pm 2\pi$ y

θ \pm 4 π

$\theta \pm 4\pi$ etc representan el mismo punto físico en un sistema de coordenadas polares. Una solución con términos proporcionales a

θ

$\theta$ tendría múltiples valores y debería descartarse por motivos físicos

Emilio Pisanty

@MrZ. Este es solo el caso si puede seguir físicamente la solución alrededor del origen. En tus términos,

θ

$\theta$ y

θ + 2 π

$\theta+2\pi$ son de hecho puntos equivalentes, pero hacer tal cambio retiene la forma general de la función (es decir

A + B θ

$A+B\theta$ ). La razón por la que este término se descarta (generalmente) es que si recorre el origen, deberá ajustar abruptamente el valor de

A

$A$ , y la solución será discontinua. Sin embargo, esto no es un problema en un dominio sobre ángulos restringidos.

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