Expansión de Taylor de un hamiltoniano cuántico, en un parámetro clásico: ¿algunos resultados más "reales" que otros?

Supongamos que tengo un hamiltoniano cuántico H ( { θ k } , { norte k θ } ; λ ) , donde cada θ k y norte k son variables conjugadas que satisfacen una relación de conmutación [ θ k , norte k ′ θ ] = i d k , k ′ , mientras λ se toma como un parámetro clásico (supongamos, por ahora, que es independiente del tiempo). En la práctica λ pueden "agruparse" con diferentes términos en el hamiltoniano, pero uno podría definir transformaciones de la forma tu = Exp ⁡ ( − i λ norte k θ ) para "cambiar la agrupación". Por ejemplo, consideremos lo siguiente H = tu + T , dónde

tu = − mi j porque ⁡ ( θ ) + mi L ( θ − λ ) 2
y
T = mi C ( norte θ ) 2
tan claramente, λ se "agrupa" con el término con prefactor mi L . Ahora vamos a definir
tu = Exp ⁡ ( − i λ norte θ ) )
lo que nos permite escribir un hamiltoniano transformado***
H ′ = tu † H tu
(asumiendo λ es independiente del tiempo) que resulta en
H ′ = mi C ( norte θ ) 2 − mi j porque ⁡ ( θ + λ ) + mi L ( θ ) 2
Claramente ahora la "agrupación" de λ es con los términos con prefactor mi j .

Deberíamos esperar que la física de esas dos descripciones sea la misma. Es decir, si | k > y | k ′ > son los vectores propios de los hamiltonianos primos y no primos, entonces < k | H | metro >=< k ′ | H ′ | metro ′ > , y lo mismo sería cierto para cualquier operador observable A y A'. A saber < k | A | metro >=< k ′ | A ′ | metro ′ > .

... ahora mi problema viene con lo siguiente. Parece que es muy común suponer que λ Se puede escribir como

λ = λ 0 + d λ
dónde λ 0 se supone típicamente estático y d λ como corrección pequeña (generalmente dependiente del tiempo). Entonces uno puede escribir un hamiltoniano aproximado, usando una expansión de Taylor, como
H ≈ H ( λ = λ 0 ) + ∂ H ∂ λ | λ 0 d λ
El segundo término puede entonces tratarse como una perturbación, con d λ considerado como un "término de ruido". Entonces (por ejemplo) usando la regla de oro de Fermi, uno puede calcular las tasas de decaimiento entre estados propios de H ( λ = λ 0 ) , que dependen de los elementos de la matriz < k | ∂ H ∂ λ | metro > .

El problema para mí viene con el hecho de que parecería que la respuesta (por ejemplo, las tasas) que obtendría en realidad depende de cómo me haya "agrupado". λ . Esto se puede mostrar para el ejemplo anterior, pero también en general se puede demostrar que

< k | ∂ H ∂ λ | metro >≠< k ′ | ∂ H ′ ∂ λ | metro ′ >
si k ≠ metro . Así que esto me diría que una de las agrupaciones de λ es "más especial" que el otro, pero por supuesto esto no puede ser, ya que sé que puedo ir entre las agrupaciones de λ con una simple transformación unitaria.

Entonces mi pregunta es realmente: ¿qué me estoy perdiendo en esta discusión? Supongo que la expansión de Taylor es solo una aproximación al hamiltoniano efectivo, pero incluso si es así, ¿qué grupo en particular refleja mejor la "realidad" y conducirá a resultados más precisos (por ejemplo, al calcular las tasas de relajación)?

Para aquellos interesados, esta técnica de observar pequeñas expansiones de Taylor perturbativas se usa (por ejemplo) cuando se observan los efectos del ruido (debido al flujo, por ejemplo) en circuitos superconductores.

¡Gracias!

***: Me doy cuenta que para llegar a H ′ , Lo asumo λ es independiente del tiempo, pero más adelante en la expansión de Taylor, tomo λ d tener potencialmente una dependencia del tiempo, como es habitual en estos cálculos. Creo, sin embargo, que la pregunta sigue siendo válida, incluso si tuviera que asumir d λ es pequeño e independiente del tiempo.

Un par de referencias específicas, donde se hace esta expansión de Taylor:

Respuestas (1)

Sospecho que su confusión proviene del hecho de que la transformación unitaria tu usted está aplicando depende de λ .

Cuando calcula las tasas de transición, está viendo una descomposición de su vector de estado como:

| ψ ⟩ =: ∑ k ψ k ( t ) mi − i k t | k ⟩

dónde | k ⟩ son los vectores propios de H ( λ o ) . Las tasas de transición gobiernan la evolución temporal de la ψ k ( t ) :

d ψ k d t ( t ) = − i ∑ yo ⟨ k | d H | yo ⟩ ψ yo ( t ) mi i ( k − yo ) t

y d H = H ( λ ) − H ( λ o ) es la diferencia entre el hamiltoniano H ( λ ) bajo el cual | ψ ⟩ evoluciona y el hamiltoniano imperturbable H ( λ o ) cuyos autovectores son los | k ⟩ .

Entonces, si queremos usar d H ′ = H ′ ( λ ) − H ′ ( λ o ) en cambio, necesitamos entender el significado exacto de las tasas de transición que estaríamos calculando. Ahora, el hamiltoniano perturbado bajo el cual | ψ ⟩ ′ evoluciona es H ′ ( λ ) , entonces | ψ ⟩ ′ debe ser tu † ( λ ) | ψ ⟩ (asumiendo que λ es independiente del tiempo...), mientras que los vectores base | k ⟩ ′ son vectores propios de H ′ ( λ o ) , es decir | k ⟩ ′ = tu † ( λ o ) | k ⟩ . En otras palabras, estamos viendo:

| ψ ⟩ ′ = ∑ yo ψ yo ( t ) mi − i yo t tu † ( λ ) | yo ⟩ = ∑ k ( ∑ yo ψ yo ( t ) mi i ( k − yo ) t ⟨ k | tu ( λ o ) tu † ( λ ) | yo ⟩ ) mi − i k t | k ⟩ ′ =: ∑ k ψ k ′ ( t ) mi − i k t | k ⟩ ′

Ups, ψ k ′ ( t ) ≠ ψ k ( t ) ! ¡Es por eso que las tasas de transición que gobiernan su evolución temporal son diferentes! De hecho, si hacemos el cálculo, digamos en el orden 1 en d λ , las tasas de transición diferirán exactamente de la manera correcta para tener en cuenta la diferente definición de ψ k ( t ) contra ψ k ′ ( t ) (ampliado en orden 1 también).

Por supuesto, qué respuesta es la "correcta" depende, al final del día, de qué es exactamente lo que está midiendo, es decir, si su experimento sigue la evolución de ψ k ′ ( t ) o de ψ k ( t ) . Para ilustrar esto, consideremos dos protocolos experimentales simples:

  1. La descomposición inicial de | ψ ⟩ sobre la base | k ⟩ se mide en t = 0 − , entonces, de t = 0 + a t = τ − , la perturbación clásica d λ está encendido, de modo que, durante este tiempo | ψ ⟩ evoluciona bajo H ( λ ) y, finalmente, la descomposición de | ψ ⟩ sobre la base | k ⟩ se mide de nuevo en t = τ + . En este caso, la experiencia mide la evolución de ψ k ( t ) .

  2. Mismo protocolo, pero los detalles de "encender" d λ ahora tiene el efecto secundario de rotar el vector de estado por tu ( λ ) tu † ( λ o ) , de modo que

    | ψ ( 0 + ) ⟩ = tu ( λ ) tu † ( λ o ) | ψ ( 0 − ) ⟩
    y
    | ψ ( τ + ) ⟩ = tu ( λ o ) tu † ( λ ) | ψ ( τ − ) ⟩
    Equivalentemente,
    | ψ ( 0 + ) ⟩ ′ = ∑ k ψ k ′ ( 0 ) | k ⟩ ′
    con el ψ k ′ ( 0 ) coincidiendo con los coeficientes de | ψ ⟩ sobre la base | k ⟩ en t = 0 − , y de manera similar en t = τ ± . Así, en este caso, la experiencia mide la evolución de ψ k ′ ( t ) .

TL;RD:

  • Si consideramos un único valor de λ , la opción de aplicar tu ( λ ) o no es completamente arbitrario: es solo un cambio unitario de base después de todo, ningún resultado físico puede depender de la base en la que hacemos los cálculos.

  • Pero si el experimento en cuestión compara la evolución entre diferentes valores de λ , esta comparación se verá afectada por λ dependientes de los cambios de base, y necesitamos analizar con precisión, por ejemplo, la dinámica de cuán precisamente λ está activado para obtener la respuesta correcta (como muestra el ejemplo anterior, necesitamos usar el λ -base dependiente en la que el "encendido" es "transparente", es decir, solo se modifica el hamiltoniano durante el tiempo d λ está encendido, sin afectar el vector de estado en los momentos en que se enciende/apaga).

gracias por su respuesta ... me pondré en contacto con usted en breve.
Finalmente una oportunidad de responder. Con respecto a tu primera oración; no creo que me confunda tu Dependiendo de λ - Estoy de acuerdo con esto, y de hecho usé este hecho para mostrar que < k | ∂ H ∂ λ | metro >≠< k ′ | ∂ H ′ ∂ λ | metro ′ > ...
Mi "confusión" (¿problema?) radica más en el hecho de que en los papeles que conozco, la agrupación de λ suele ser algo arbitrario (porque después de todas las dinámicas son independientes de la agrupación), pero tal vez toda esta discusión muestra que al tomar la derivada para calcular el operador de acoplamiento de ruido (aproximado) (es decir, I norte o i s mi = ∂ H / ∂ λ ), la agrupación realmente importa...
Así que tal vez lo que uno necesita en su lugar, es comenzar con algún particular λ agrupación que corresponde a un "marco de laboratorio" - luego obtenga I norte o i s mi dentro de ese marco (por un argumento de que este es el marco "correcto" que define I norte o i s mi en el laboratorio), entonces, dado que cualquier "reagrupamiento" de λ lo realiza algún operador unitario U, ese operador también debe aplicarse a I norte o i s mi para obtener resultados consistentes... ¿te parece razonable? gracias de nuevo por tomarse el tiempo para leer y responder a esta publicación.
No estoy familiarizado con su dominio de aplicación específico, pero la forma en que lo entiendo, a nivel general, es la siguiente:
Siempre y cuando solo considere un valor específico de λ , tiene razón en que la elección de trabajar en un espacio de estado girado por tu ( λ ) está completamente bien: eso es realmente solo una elección de base, y de hecho arbitraria.
Sin embargo, cuando comenzamos a escribir λ = λ o + d λ , y comparando la dinámica "perturbada" con la de "referencia", ahí es donde λ -dependencia de tu ( λ ) volverse traicionero, bcs como muestra el cálculo anterior, el vector de estado bajo estudio se rota por tu ( λ ) , pero los vectores de referencia sobre los que lo descomponemos son ellos rotados por tu ( λ o ) .
Aplicar tu ( λ ) a lo que llamas I no será suficiente, creo, bcs I ′ recoge la contribución adicional de ∂ tu / ∂ λ (La matemática aquí es similar a las "fuerzas ficticias" que surgen al trabajar en un marco de referencia no inercial en la mecánica clásica, aunque la física es un poco diferente: aquí el pb viene bcs U depende de λ y comparamos diferentes λ , mientras que en mecánica, el pb proviene de un cambio de marco dependiente del tiempo).
pero si mi I eran un observable arbitrario (incluso dependiente de λ ), luego transformándolo a través de tu † ( λ ) I tu ( λ ) me daría resultados consistentes si "reagrupara" el λ en mi hamiltoniano usando tu ( λ ) . ¿No?
pb aqui esta eso I no es estrictamente hablando un observable, sino una comparación de observables en ≠ λ 's, entonces I ′ = ∂ H ′ / ∂ λ = ∂ ( tu H tu † ) / ∂ λ = tu I tu † + ( ∂ tu / ∂ λ ) H tu † + tu H ( ∂ tu † / ∂ λ ) . Usando tu tu † = 1 , tenemos ( ∂ tu / ∂ λ ) tu † + tu ( ∂ tu † / ∂ λ ) = 0 , por lo que esto deja una contribución extra a I' de [ ( ∂ tu / ∂ λ ) tu † , H ′ ] .
jeje... la "contribución extra" que mostraste arriba es la razón principal de la pregunta en primer lugar, porque eso es simplemente definir I ′ = ∂ H ′ / ∂ λ . Gracias de nuevo de todos modos. Voy a pensar en todo esto un poco más...
@heythereitsme He agregado más discusión sobre cómo la elección "correcta" depende del protocolo experimental. Es decir, no hay una "base preferida" para un laboratorio dado (después de todo, la base es realmente una elección arbitraria) PERO, si el experimento cambia el valor de λ (como tiene que hacerlo, para comparar la evolución bajo diferentes valores), entonces es la dinámica de cómo lo hace la que seleccionará la correcta λ -base dependiente.
@heythereitsme Como dije, no estoy familiarizado con su dominio en particular, por lo que mis "protocolos de juguete" probablemente sean mucho más simples de lo que está tratando, pero espero que esto pueda darle una pista de lo que podría estar pasando en el caso te interesa. (por cierto, gracias por aceptar mi respuesta :)
Expansión de Taylor de un hamiltoniano cuántico, en un parámetro clásico: ¿algunos resultados más "reales" que otros?
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