¿Existe una relación entre los números primos y la música?

¿Existe una relación entre los números primos y la serie de sobretonos y sus frecuencias?

Encontré enlaces a la investigación de Euler sobre matemáticas y música, y se me puso la piel de gallina cuando descubrí que aquí hay todo un universo de correlación.

¿Alguien puede desglosar esta teoría para tontos como yo?

http://www.tonalsoft.com/monzo/euler/euler-en.aspx

( http://eulerarchive.maa.org//pages/E033.html )

Me refiero especialmente a la correlación de la longitud de la cuerda, los armónicos y los números primos. Después de pensarlo y tratar de explicármelo, descubrí que esto es muy simple, pero nunca me di cuenta de esta relación .

Esa es una pregunta un poco amplia. Sin exponer mi relación con las personas que están detrás, solo puedo decir que uno de mis familiares es un matemático detrás de la investigación que pretende unir la Teoría de Números y la música. Hay una serie de aplicaciones de números primos relacionadas con la música, algunas que involucran el Tamiz de Eratóstenes y una propia que involucra una función irreversible basada en las propiedades de los números primos para producir música automatizada. Tendrás que ser un poco más específico.
probablemente tendré que estudiar primero esto: arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0801/0801.4049.pdf y esto aquí: open.edu/openlearn/whats-on/tv/…
No. Solo hay correlaciones falsas como la que se demuestra en la respuesta de PeterJ.
Acabo de tratar de explicar mi pregunta a mi esposa mientras limpiaba la piscina. Y en esta ocasión he descubierto un problema fundamental de la enseñanza: no podía plantear el problema, ¡tenía que tratar de dar la respuesta! Así que eso es exactamente lo que se pregunta en este SE: "¡ Díganos lo que ya ha intentado hacer! " Lo que he descubierto es que primero tenía que poder responder a mi pregunta antes de poder ser más preciso en mi pregunta. Y a veces tenemos que saber primero la respuesta para poder entender la explicación de los demás. ...
Debo disculparme, el enlace de arriba está en latín y no me di cuenta de esto, ya que allí se dice que está vinculado con una traducción al inglés. Encontré esto fácilmente en un iPad, pero ahora en mi computadora portátil muestra el error 404. Publicaré la versión en inglés lo antes posible. sí, aquí vamos: tonalsoft.com/monzo/euler/euler-en.aspx
Si no recuerdo mal, la escala de Bohlen-Pierce se basa en números primos, específicamente 3:5:7. youtube.com/watch?v=Ur6GOoSNGN0 en.wikipedia.org/wiki/Bohlen%E2%80%93Pierce_scale
@Bob: ese es un video increíble, está hecho de manera muy inteligente. Pero me temo que no lo entiendo, especialmente cuando habla de tritaves y tampoco entiendo las proporciones 3:5:7. ¿Se refiere esto a las frecuencias oa los tonos de los acordes?
Tengo el libro Música y matemáticas: de Pitágoras a los fractales. Es una lectura decente, las matemáticas deberían ser comprensibles para cualquier persona de nivel secundario o superior.
Ahora estoy bastante confundido acerca de las longitudes de onda y la frecuencia. Probablemente me he perdido mucho y entendido mal muchas cosas. ¡Y en mi respuesta he olvidado lo de la coma pitagórica! Pero tal vez alguien esté interesado en estos artículos: yapps-arrgh.de/data/primes_Online.pdf (es demasiado complicado ya que nunca tuve una lección de matemáticas en inglés y no entiendo los términos. También hay muchos videos e imágenes hermosos) en este contexto de música y números primos me gustaría entender, tal vez algún día alguien haga una pregunta más fina y más inteligente que nos lleve hacia adelante.

Respuestas (5)

Hay una observación con respecto a los números primos. Ninguna potencia prima (excepto 0) es potencia de cualquier otra prima. Por lo tanto, ningún número de quintas apiladas será igual a ningún número de octavas apiladas. (Tomando un quinto como una proporción de 3:2). Por lo tanto, cualquier música útil sobre más de unas pocas notas necesitará ser templada.

La afinación "pitagórica" ​​usa solo proporciones usando 2 o 3. La afinación "justa" usa proporciones usando 2, 3 y 5. La tercera pitagórica se convierte en 81/64 y la tercera justa es 5/3; estos no coinciden.

Aparte de esto, no hay mucho más que descubrir cómo atenuar la diferencia entre (por ejemplo) 7 octavas y 12 quintos de manera práctica.

Este. Con la excepción de 2, hay poco uso de números primos en la música. (Las excepciones son: 5 medios tonos a una cuarta, 7 a una quinta, a veces un 3 en ritmo y 7 notas en la escala diatónica (que se siente más como un accidente). Pero eso es todo. El factor 2, en el Por otro lado, es omnipresente en el ritmo y es la base para llamar a dos frecuencias la misma nota en la escala. Además, los 12 = 2*2*3semitonos forman la base de toda la teoría armónica.)
Sí. El factor de equivalencia de dos octavas desplaza a los otros números primos. El intervalo (supuestamente determinado acústicamente) de una quinta a 3:2 nunca puede coincidir.
Realmente extrañé esta coma pitagórica. ¡Me avergüenza!

Yo diría "trivialmente, sí".

Sí, porque la música se puede analizar y, a menudo, se crea de maneras que involucran números y fundamentos de álgebra (como la suma y la multiplicación), y una vez que se involucran los números, y particularmente cuando se trata de la multiplicación (y la división), los números primos se vuelven significativos.

Trivialmente, porque cada rama del pensamiento humano que se puede analizar y/o desarrollar utilizando números y álgebra básica, y en particular la multiplicación/división, tiene una interacción significativa con los números primos.

Esto se debe a que la naturaleza misma de los números primos es que crean patrones sobre cómo se multiplican y dividen los números en general.

Aquí hay una lista de solo algunas de las áreas de la música donde los números primos tienen una interacción importante con el concepto debido a la utilidad de la multiplicación y/o división de números enteros:

  • relaciones de frecuencia e intervalos
  • compases y ritmos
  • afinación, entonación y escalas
  • resonancia, amortiguación y construcción de instrumentos
  • acústica
  • etc.

Hay superposiciones entre algunas de esas áreas, como muchos seguramente notarán.

Concretamente en cuanto a las ideas de Euler, no me parecen especialmente útiles, al menos desde el punto de vista musical. Pueden ser interesantes a su manera, pero creo que hay una razón por la que la gente no se refiere con frecuencia a estas ideas cuando habla de música. Además, las innovaciones matemáticas de Euler son mucho más emocionantes.

@ Todd: He corregido y editado mi pregunta. En realidad, se trataba principalmente de los fundamentos acústicos como la longitud de la nota, respectivamente, la frecuencia y los números primos. Aprendí ambos en la escuela pero no comprobé que no es solo una correlación, ¡de hecho es lo mismo! Ese es el efecto cuando los maestros están enseñando algunas cosas en matemáticas, física y música, pero no ven o no conocen la conexión. ¡No se ha conectado en mi cabeza, sinceramente! Todavía puede explicar este punto de frecuencia y números primos o mostrar que esta pregunta/respuesta ya se ha publicado y está duplicada :)
@AlbrechtHügli No estoy seguro de por qué mencionó su edición, ya que respondí la pregunta mucho después de que hizo la edición, y mi respuesta tiene la edición en mente. Mi respuesta sigue siendo "Sí, trivialmente". Tal vez pueda expandirlo más claramente y decir "Sí, pero no de ninguna manera que sea especialmente significativa para nosotros como músicos o compositores o amantes de la música".
A veces las cosas más triviales no son triviales. Sabía que las matemáticas y la música eran elementos del trivium/quadrivium. Pero la relación de las dos cosas no ha sido trivial para mí hasta hoy. Mi pregunta sigue siendo útil y apropiada ya que este material (acústico) es un conocimiento elemental para todos los estudiantes de música. Si conoce los primos de la tercera clase, puede derivar las frecuencias de todos los armónicos; eso es lo que no me di cuenta. Solo los sé por los armónicos de los instrumentos de metal y aprendiéndolos de memoria. Lo que es trivial para uno parece no serlo para todos.
Trivialmente, porque cada rama del pensamiento humano que se puede analizar y/o desarrollar utilizando números y álgebra básica, y en particular la multiplicación/división, tiene una interacción significativa con los números primos. tal vez realmente no entiendo el significado de los números primos que dices que es trivial. Tendré que pensar más en este fenómeno en mi vida cotidiana. De todos modos, trajiste algunos puntos en los que todavía no estaba pensando. Me podrías explicar la relación de otros aspectos o unidades. Ahora he comenzado a entender la relación de números primos y frecuencia.

¡SÍ! Y es fascinante.

Los primos (>3) solo ocurren en 6n+/-1 (junto a un número divisible por seis). Esto se debe a la interacción entre los productos de los números 2 y 3. Si piensas en la recta numérica como música en 6/8, entonces los números primos siempre ocurren en la segunda o última corchea de cada compás. Así 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc.

La distribución de números primos está completamente determinada por la interacción entre las 'ondas de productos' de números primos más pequeños. Cada primo produce productos en 6n+/-1 de acuerdo con una regla tal que hay dos productos en esta ubicación en cada 6p números. Por ejemplo, los productos de 5 que ocurren en esta ubicación lo hacen siempre en 6np+/-p, por lo tanto, dos veces en cada 30 (6p) números.

Todo esto tiene que ver con las frecuencias que interactúan y la teoría de números hace un uso extensivo del análisis de Fourier. El truco del análisis es reconocer que no existe una 'música de los números primos' sino que es, más bien, una 'música de los productos de los números primos', y esto es lo que determina la distribución de los números primos.

Cualquiera que conozca la acústica y la mecánica de las cuerdas vibrantes podrá comprender fácilmente cómo funcionan los números primos.

¿Estás contando la primera corchea como cero? Eso es bastante contraintuitivo.
Esta es una selección de cerezas de la mejor calidad. Uno puede trabajar para encontrar alguna relación aparente entre los números primos y las resonancias en la música, pero no hay nada en las matemáticas de los números primos (como cuando ocurren los pares) que tenga algo que ver con el desarrollo occidental u oriental de la teoría musical.
@phoog, no si es programador (a menos que programe en Visual Basic, donde los índices de matriz comienzan en 1).
El primer punto es bastante meh, elegir representar la recta numérica como una serie de compases de 6 tiempos es bastante arbitrario y no agrega nada al hecho de que los números primos >3 pueden representarse como 6n+/-1. No entiendo el resto de la respuesta en absoluto: aparentemente hay algo sobre las frecuencias de las notas, el análisis de Fourier y la vibración mecánica, pero no tengo idea de cómo se relaciona eso con los números primos.
@Pyromonk Soy programador. Eso no impide que contar desde cero sea contraintuitivo, como se puede ver por ejemplo en el hecho de que la afirmación "los primos siempre ocurren en la segunda o última corchea de cada compás" asocia el número ordinal segundo con el índice 1 .
@ Carl: Probablemente el punto es demasiado claro para que entiendas cuál era mi problema... No vi la analogía o la identidad de los números primos y la división de cadenas, respectivamente, la multiplicidad de las frecuencias de una cadena. Responderé ahora mi pregunta después de haber descubierto cómo preguntar. Pero todavía hay una oportunidad para otros.
@NuclearWang: bueno, la idea es lo suficientemente útil como para justificar la publicación de un artículo al respecto en una revista de enseñanza de matemáticas, así que tal vez te estés perdiendo algo. Al usar los números 6n como métrica, se puede analizar la distribución de los números primos. No es un método mejor que los habituales, pero es una buena manera de entender cómo y por qué se comportan como lo hacen. La regla 6n se puede usar para construir un corrector principal y tiene un valor didáctico al menos. .
@CarlWitthoft: creo que el uso del análisis de Fourier en la teoría de números y la centralidad de la serie armónica aclara la conexión. No sugerí que los números primos tuvieran un efecto en el desarrollo de la teoría musical, aunque obviamente se trata de matemáticas. Los números primos deben tener alguna relevancia. Por ejemplo. los músicos tienden a no usar números primos para los tiempos en el compás.
@phoog: mis comentarios se aplican a números primos> 3. Así que el primer tiempo fuerte oficial sería el 6.
Pero si el tiempo 6 es un tiempo fuerte, entonces el tiempo fuerte que lo precede es cero (suponiendo que la pieza comience en el tiempo fuerte, por supuesto). El tiempo fuerte del segundo compás es en realidad el séptimo tiempo de la pieza. (También hay tradiciones musicales en las que los metros primos son bastante comunes, aunque pueden no ser relevantes para esta discusión).
¿Algo de lo que has dicho se aplica específicamente a los números primos y no a los números de la forma 6n+-1?
@ usuario2679290 - No tengo ni idea. Tendría que comprobar. Estoy desconcertado por las respuestas irrelevantes a mi respuesta. Tal vez expliqué mal el tema.
@phoog: la regla se aplica a los primos> 3. Así, 5 es un tiempo positivo, 6 un tiempo fuerte y 7 el primer tiempo del primer compás. No es ciencia espacial, solo una forma de analizar los números primos que debería ser fácil para un músico e interesante para ellos. No tan interesante como esperaba, obviamente. El comportamiento 'musical' o similar a una onda de los productos de los números primos es la conexión entre la música y los números primos sobre la que pregunta OP y explica por qué la serie armónica es tan importante en la teoría de números. Parecía útil señalar esto, y no sé por qué alguien está discutiendo al respecto. .

La era del temperamento ecuánime iniciada por Bach ha dejado obsoletas proporciones como 3:2. La música de los últimos dos siglos que usa una escala de 12 notas cambia la frecuencia de cada nota ascendente al multiplicar la frecuencia de la nota actual por 2^(1/12), lo que llamamos raíz doceava de 2. Tiene sentido porque es una progresión geométrica.

Sorprende a aquellos que piensan que un intervalo de una quinta mayor (digamos C a G) tiene que ser exactamente 1,5 veces la frecuencia . El Sr. Bach lo cambió para que sea un valor de compromiso de 2^(7/12) exactamente . Aquí está la relación del intervalo de un quinto (C a G, por ejemplo) en precisión de 12 lugares: 1.49830707688:1.

Cada medio paso requiere multiplicar la frecuencia por 2^(1/12) o 1,05946309436, que es un número irracional (lo que significa que no es ni puede ser la razón de dos enteros cualesquiera). Si multiplica ese número por sí mismo 12 veces, significa que ha subido los 12 semitonos (medios pasos) que componen nuestra escala de 12 tonos y obtiene el número entero 2. Cada octava es el segundo armónico, o el doble de la frecuencia de la nota inicial. Esto significa que una nota en particular en cualquier octava estará "afinada" con esa nota en cualquier otra octava. por lo tanto, todos los A están afinados entre sí, todos los D# están afinados, etc.

Eso no es cierto para las quintas, que tendrán un "ritmo" o un sonido vacilante cuando se toquen contra la nota fundamental. Este puede ser el origen del vibrato exagerado que muchos cantantes infligen en nuestros oídos en estos días.

Lo siento si rompí algunas burbujas, pero desde Bach, los instrumentos que usan la escala de 12 tonos están diseñados y fabricados para ser afinados, y los músicos se pasan la vida aprendiendo a tocar en temperamento igual, usando la raíz doceava de dos, que es un número irracional, lo que significa que no puede y no equivale a una proporción de dos números enteros, primos o no.

Otras escalas con diferentes números de notas pueden tener algunos intervalos que equivalen a la proporción de dos números enteros e incluso puede ser posible basar los intervalos en una proporción de dos números primos, pero tal afinación sería casi completamente incompatible con la común de 12 tonos. sistema. (A menos, por supuesto, que su composición fuera "Sonata para gato y cortacésped")

Lo siento.

Ahora, ¡suficientes matemáticas por un día! Voy a volver a mi composición.

"introducido por Bach": el temperamento igual no entró en uso regular hasta mediados del siglo XIX. Y las quintas templadas, incluso más alejadas de la relación 3:2 que las quintas temperadas, estuvieron en uso durante un par de siglos antes de Bach. Las quintas de temperamento igual generalmente golpean demasiado lento para afectar mucho la textura musical. No se puede decir lo mismo de las terceras mayores de igual temperamento.
Además, la gente que hace música sin teclados sigue utilizando intervalos afinados con justicia, y la gente sigue afinando (o, mejor dicho, en las últimas décadas ha vuelto a afinar) los teclados con temperamentos desiguales. También se está escribiendo nueva música "microtonal" en las últimas décadas que especifica explícitamente una afinación justa o casi justa.
W3BC, su declaración tiene muchas verdades. Por supuesto, los tonos temperados iguales no están relacionados con los números primos, pero TET no era mi preocupación. Me preguntaba si hay un secreto metafísico detrás de los armónicos naturales y los números primos.

Esta es mi respuesta (pero no es solo una especie de control de calidad (¡ya que realmente no había visto esta relación antes!)

Comenzando con los números primos más pequeños:

Son 1,2,3,5,7,11 ...

Eso es lo que hemos aprendido en la escuela primaria: estos números solo se pueden dividir por 1 y por sí mismos.

los sobretonos (armónicos) y las frecuencias: ¡tenga en cuenta que he editado la longitud de onda a la longitud de la cuerda !

en la 1. columna del gráfico está la longitud de la cuerda en la 2. el factor de frecuencia en la 3. el tono resultante

1 => 1 = p. ej., C

1/2 => 2 = do

1/3 => 3 = gramo

1/4 => 4 = c (8va de c 1/2 x 1/2)

1/5 => 5 = mi

1/6 => 6 = g (8va de g 1/2 x 1/3)

1/7 => 7 = b7

1/8 => 8 c (8va de c 1/2 x 1/4)

1/9 => 9 re (5º de sol 1/3 x 1/3)

1/10 => 10 e (8va de e 1/2 x 1/5)

etc.

como podemos ver, las frecuencias en negrita son los nuevos armónicos, todos los demás son múltiplos de armónicos ya derivados que, obviamente, pueden dividirse por otro número primo que ya se ha derivado. Esta tabla muestra que cada nuevo tono armónico obviamente debe ser idéntico al siguiente número primo que no se puede dividir en otro número que no sea uno o él mismo. Es por eso que algunos pueden decir que esto es trivial, ¡pero no ha sido trivial para mí hasta ahora! No hay una similitud o correlación entre los armónicos y los números primos. Son idénticos.

Editar:

Con esta última frase quise decir:

Los números primos y los armónicos son una y la misma cosa, solo que en términos y medios diferentes, ya que todos los números no primos deben ser octavas o quintas de armónicos de los que ya hemos desarrollado: p.

Pero ahora veo lo que se me ha escapado: la coma pitagórica: 7 octavas no son 12 quintos. ¡Había olvidado por completo este punto!

Aquí he encontrado un artículo que dice lo mismo:

Los números armónicos son equivalentes a los valores de los armónicos fuente en todas las discusiones previas sobre la evolución armónica. Dado que solo estudiamos aquellos hasta Quintaality, la mayoría eran primos. Pero como podemos ver en el gráfico, numéricamente, la mayoría de los armónicos de origen y los multiplicadores de armónicos no son primos, cualquiera de los cuales es un producto de números primos: su propia serie de armónicos y multiplicadores. Llamaremos al primero de la serie su armónico raíz, que por lo tanto es distinto del producto en sí: el armónico fuente. Determina la raíz de la naturaleza espiritual o física del linaje del producto.

Dice equivalente lo que creo que esto es mejor que uno y lo mismo.

ingrese la descripción de la imagen aquí

y aquí hay otro enlace que dice que los primos y los armónicos son equivalentes:

http://tonalsoft.com/enc/p/prime.aspx

ingrese la descripción de la imagen aquí

http://tonalsoft.com/enc/p/prime.aspx

Eso es una tautología: solo estás diciendo que los armónicos son primos o múltiplos de otros armónicos. Es lo mismo para los números: cada número es múltiplo de otro número o es primo.
¡exactamente! y esto hay que averiguarlo primero :)
Tal vez esto sea una tautología. Escuchemos lo que dirán los demás. ¿Pero no es extraño que no haya visto esta relación antes? Me preocupan mucho las matemáticas y también la música, y también la lógica. Pero tal vez soy realmente un tonto? researchgate.net/publication/… ec2-23-21-117-9.compute-1.amazonaws.com/blogs/08/02/2010/… plus.maths.org/content/music-primes
Sin embargo, tenga en cuenta que el 1 normalmente no se considera un número primo. Y sobre la multiplicación, quizás te interese la descomposición en factores primos .
@AndrewT. Para ser exactos, el 1 nunca se considera un número primo.
ups, estúpido, lo he editado, ¡esto era perfecto antes!
Además, aunque 3/2está muy cerca de una quinta, no es lo mismo (asumiendo una afinación templada). 4/3, por extensión, tampoco es exactamente un cuarto. 5/4se aleja un poco más de la tercera mayor templada, y 7/4definitivamente no está cerca de la séptima menor. Las fracciones verdaderas son todas irracionales y potencias de la raíz doceava de 2 .
Supongo que la votación negativa se debe a que la última oración: soy consciente de que me estaba inclinando mucho por la ventana escribiendo números primos y armónicos son lo mismo. Pero lo que quería decir es: ¡todos los números no primos deben ser octavas o quintas de sobretonos que ya tenemos! Por lo tanto, todos los demás armónicos nuevos deben ser números primos. Por supuesto que hablo de los armónicos de un solo tono de un solo instrumento. En este caso, la afinación templada no importa. Pero ahora veo lo que se me ha escapado: la coma pitagórica: 7 octavas no son 12 quintos. ¡Había olvidado por completo este punto!
La edición de Todd Wilcox fue correcta: 1 no es un número primo. Eso puede o no importar mucho para su teoría, pero no parece bueno revertir las correcciones a afirmaciones incorrectas.
Sin embargo, @CarlWitthoft 1 ha sido considerado principal en el pasado.
Esto también me enteré y quise dirigirme a @Carl. Pero dicen que Euler respondió en una carta a otro teórico de las matemáticas, que no considera el 1 como primo... No sé lo que nos han enseñado. en la escuela (podría mirar hacia arriba)
"todos los números no primos deben ser octavas o quintas de armónicos de los que ya hemos desarrollado": esto no es cierto, y la teoría de los números nos lleva a la prueba: solo necesitamos buscar números compuestos que no tengan un factor de dos o tres: 25, 35, 49, 55, ...
Mi combinación de pensamientos fue esta: si un tono con factor de frecuencia 5 es la tercera mayor de C (= E) entonces 25 debe ser la tercera de... E (= G#) hombre, phoog, ¡tienes razón! ! ¿qué estamos haciendo ahora? Creo que yo también iré y seguiré componiendo: la sinfonía de primos nr. 2
Lo siento por el tonto que piensa que 1 no es un número primo, se conoce como una unidad simplemente porque el 1 incluido como primo complica ciertas teorías. En otras palabras, 1 no se describe como primo solo por una cuestión de convención.
¿Existe una relación entre los números primos y la música?
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