¿Existe una interpretación física directa para la función de onda compleja?

Dejaré una respuesta a su última pregunta sobre si los números complejos son necesarios para QM.

Scott Aaronson tiene una buena conferencia aquí http://www.scottaaronson.com/democritus/lec9.html , desplácese hacia abajo hasta la sección sobre números reales frente a complejos.

Mi argumento favorito es el primero: que si tienes un operador lineal$U$, entonces le gustaría tener operadores como$V$dónde$V^2=U$, simplemente porque esperas continuidad; es decir, si se le permite hacer una transformación completa, también debería poder hacer "la mitad". (Si se permite esperar un segundo, también se debe permitir esperar medio segundo). Para tener raíces cuadradas de operadores en general, deberá permitir matrices de operadores con elementos complejos. Y una vez que permita eso, los vectores de estado sobre los que actúan también deberán ser complejos en general. Por lo tanto, su función de onda también deberá ser compleja.

¿Podemos hacer mecánica cuántica sin números complejos? Sí.
Use el álgebra geométrica (GA) como un marco más simple para expresar la física:

Oersted Medal Lecture 2002: Reformando el Lenguaje Matemático de la Física
Geometría Álgebra (GA) abarca en un marco único para todo esto:

• geometría sintética,
• Geometría coordinada,
• Variables complejas ,
• cuaterniones,
• análisis vectorial,
• álgebra matricial,
• espinores,
• tensores,
• Formas diferenciales.

Es un lenguaje para toda la física.
Probablemente Schrödinger, Dirac, Pauli, etc... habrían usado GA si existiera en ese momento.

GA Reduces “grad, div, curl and all that” to a single vector

derivada que, entre otras cosas, combina el conjunto estándar de cuatro ecuaciones de Maxwell en una sola ecuación y proporciona nuevos métodos para resolverla.

Usando Álgebra Geométrica, una vista intuitiva está a la vuelta de la esquina (las nociones de geometría encajan mejor en mi cabeza). En este PSE enlazo una lista de recursos de GA.

Sobre su pregunta: ¿Podemos hacer mecánica cuántica sin números complejos?

Sí. En general, se puede reemplazar cualquier número complejo por una matriz de valor real de 2x2.

$a+ib ~=~\left(\begin{array}{rr} ~~a & -b \\ b & a \end{array}\right)$

Otros ejemplos son las matrices complejas de Pauli y los cuaterniones, que pueden reemplazarse por matrices de valores reales de 4x4. No hay nada mágico o especial en el uso de valores complejos en física.

El problema no es tanto que no debas hacer la pregunta, es más que si haces la pregunta, puedes verte abrumado por muchas respuestas diferentes, que tendrán relaciones entre ellas que es posible que no puedas entender a menos que ya has leído mucho.

Una respuesta moderadamente estándar es que la interpretación de Born de la función de onda te lleva muy lejos. Puede modelar las estadísticas de datos experimentales sin procesar muy bien mediante las medidas de probabilidad que surgen de las matemáticas de la mecánica cuántica, si obtiene el modelo correcto para el aparato experimental. Una forma simple de decir lo que predice QM cuando las mediciones no conmutan (eso no es muy estándar) es que las probabilidades resultan negativas, y no se puede hacer un experimento que obtenga estadísticas que coincidan con esas probabilidades, de las cuales puede decir que esas medidas son incompatibles.

Una justificación poco convencional para los números complejos —en mi opinión, definitivamente no estándar, y ciertamente hay otros intentos de esto— es el artículo de Leon Cohen "Rules of Probability in Quantum Mechanics", Foundations of Physics 18, 983 (1988) (que vincula las probabilidades a una estructura compleja al mostrar que la introducción de un enfoque de función característica hace que una estructura compleja sea natural, aunque esto debería hacer que te preocupes por la circularidad), que lamentablemente solo está disponible detrás de un muro de pago, en https://doi.org/10.1007/BF01909934 , siendo demasiado pronto para que exista una versión preimpresa de arXiv.

EDITAR: Pero la completitud algebraica es una muy buena razón, que tiene la ventaja de que se sale de la lengua muy bien.

EDITAR (2): La pregunta es quizás si existe una estructura compleja natural . El único candidato posible, por lo que he visto, es el dual de Hodge, en forma tensorial${\epsilon^{\alpha\beta}}_{\mu\nu}$, en el cálculo exterior$\star$, pero hasta ahora no me ha gustado nada de lo que he visto o que he intentado construir que utilice esta estructura. Francamente, a menudo no es fácil tomar en serio los enfoques que toman el dual de Hodge con seriedad ontológica. El enfoque habitual introduce efectivamente una estructura compleja$i$como el imaginario que se usa cada vez que se construye una transformada de Fourier, que es una introducción bastante natural, pero no por otra razón es una estructura natural.

La interpretación física de una función de onda se da correctamente en casi todos los libros de texto. Que sea "inusual" se debe a una enseñanza demasiado simplificada de la mecánica clásica. Por ejemplo, pregúntese cuál es la posición de la Luna. Es un promedio de muchos puntos de datos. La certeza de CM se obtiene como resultado de promediar muchos puntos de datos. "Muchos puntos de datos" es algo intrínseco para los fenómenos físicos. De hecho, ¿puedes convencer a alguien de algo si traes solo un punto en tu foto-película? En QM, la posición ya no es una función del tiempo sino un operador con diferentes valores propios. El conjunto de estos valores propios describe un estado. Un punto no describe un estado, desafortunadamente. Una foto de la Luna se diferencia de una foto de Marte en detalles que son puntos diferentes.

Entonces, las matrices de datos no son inusuales para la física. Son necesarios y están implícitos en nuestras nociones de espacio, tiempo, sistemas de referencia, etc. Estos arreglos obedecen a sus propias leyes. Estas leyes son a veces leyes ondulatorias. Entonces, la función de onda es una representación de los datos que describen un sistema físico dado si se observa "muchas veces". Sin promediar, es más detallado que después de promediar. Para hacer frente a ondas complejas, piense en la descripción de la luz en términos de amplitudes complejas y en la forma de obtener una intensidad de valor real.

Hay una diferencia entre el significado físico de la función de onda y el significado físico de un valor de la función de onda. Considere un sistema de dos componentes, indistinguibles, con un grado de libertad espacial y un medio de espín. Entonces, por ejemplo, podríamos tener psi (q_1, p_2, s_1, s_2) donde s_i son variables de espín que toman los valores 1, -1. {O, eligiendo una polarización diferente del espacio de configuración, podría haber sido xi(q_2,p_1,s_1,s_2).} (Omito las condiciones que debe satisfacer psi).

El significado físico de psi como un todo (hasta un factor de fase) es que es el "estado" en el que se encuentra el sistema. "Estado" es un término físico, incluye todas las propiedades físicas del sistema. Cualquier otra pregunta como 'qué es un estado' es esencialmente filosofía, no física.

El significado físico del valor de psi (siempre que psi esté normalizado para tener unidad de norma L^2) en un valor particular de q_1, p_2, s_1 y s_2, es que el cuadrado del módulo del valor es la probabilidad de que el El sistema producirá un resultado de medición de posición del primer componente = q_1, momento del segundo componente = p_2, espín del primer componente = s_1, espín del segundo componente = s_2 --- siempre que, por supuesto, el sistema interactúe con el aparato de medición apropiado para este conjunto de preguntas.

El significado físico de psi como un todo, o de xi como un todo, es el mismo. Y este significado es simplemente uno de los seis axiomas de QM. El significado físico de los valores de psi es diferente de los de xi, pero estos significados físicos se derivan lógicamente del significado físico de psi o xi como un todo más los axiomas de medición más las definiciones de los observables de espín, observables de posición y momento. observables.

Así como uno podría estudiar una función sin elegir coordenadas (y por lo tanto, a fortiori, sin elegir una polarización del espacio de configuración), y sin estudiar sus valores, el significado físico de psi tiene sentido independientemente del significado físico de sus valores, y es, en el marco axiomático habitual de QM, lógicamente anterior. Pero hay reconstrucciones de QM que invierten este orden. Algunas personas prefieren esas reconstrucciones... Lucien Hardy es el más famoso de estos reconstructores, y lo ha intentado dos veces (su sistema se vuelve más y más complicado cada vez...)

La publicación de Vladimir Kalitvianski es muy sensata: los valores de psi son, de hecho, un conjunto de datos medibles, y una 'matriz' de ellos adecuadamente elegida es suficiente para determinar psi por completo (hasta un factor de fase).

No se pueden usar funciones similares de valor real, porque las relaciones de fase son físicas. Si uno tratara de usar solo funciones de valor real, no describiría todas las propiedades físicas del sistema (no podría tener en cuenta las relaciones de fase).

Después de muchos años de reflexión sobre lo que representa la función de onda, he llegado a la conclusión de que se trata de una distribución de probabilidad de valor complejo sobre el espacio de configuración, y no de la representación del estado físico del sistema, como suele afirmarse. Debido al principio de incertidumbre, no podemos conocer todas las propiedades de un sistema, sino solo algunas. Cuando tenemos el máximo conocimiento posible (es decir, cuando estamos en un estado puro de conocimiento) conocemos algunas propiedades (por ejemplo, el momento de una partícula) y la teoría cuántica presenta una distribución de probabilidad sobre otras propiedades (por ejemplo, sobre la posición de la partícula en el espacio). Por lo tanto, podemos considerar el formalismo de la mecánica cuántica como una teoría de la probabilidad de valores complejos y parece que podemos construir las reglas de tal teoría de la probabilidad más o menos independientemente de ese formalismo. e incluir entre estas reglas principios para la asignación de probabilidades de manera bayesiana. (Estas son generalizaciones del principio de indiferencia, el método de grupos de transformación y el principio de máxima entropía, tal como lo formula, por ejemplo, Jaynes en el caso de probabilidades reales (no negativas).) Sin contradecir la mecánica cuántica habitual formalismo, podemos adoptar un enfoque realista para la interpretación de la teoría cuántica.

Si desea ver mi trabajo sobre esto, encontrará una referencia en mi perfil de LinkedIn.