¿Existe una generalización relativista de la distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann?

La distribución de velocidad de Maxwell-Boltzmann en el espacio 3D es

F ( v ) d v = 4 π ( metro 2 π k B T ) 3 / 2 v 2 Exp ⁡ ( − metro v 2 2 k B T ) d v
Da la probabilidad de que una sola partícula tenga una velocidad en el intervalo [ v , v + d v ] . Pero esta probabilidad no es cero para velocidades v > C en conflicto con la relatividad especial.

¿Existe una generalización de la distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann que sea válida también en el régimen relativista de modo que F ( v ) = 0 por v > C ? ¿Y cómo se puede derivar? ¿O puede simplemente no existir una distribución de una sola partícula para velocidades relativistas, porque para altas energías, siempre tenemos producción de pares, lo que significa que el número de partículas no se conserva y una distribución de una sola partícula no se puede definir de manera consistente?

Para su información, la generalización relativista se llama distribución de Maxwell-Juttner.

Respuestas (5)

El punto de una distribución de Boltzmann es que maximiza la entropía dada una energía fija. El concepto se aplica a sistemas con otros grados de libertad además de la energía cinética de traslación. La distribución general, de Wikipedia es

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Por lo tanto, el ajuste simple a la distribución de Maxwell-Boltzmann que citó es para reemplazar la energía cinética newtoniana metro v 2 2 con la energía cinética relativista ( γ − 1 ) metro C 2 en todas partes aparece en la distribución.

La creación de parejas es un tema aparte que le dejaré a otra persona.

γ − 1 tiene un componente imaginario para v > C , lo que parece excluir una interpretación de probabilidad. ¿Tienes alguna referencia donde se desarrollen las consecuencias del modelo que sugieres arriba? ¿Se debe insertar una restricción de función de Heaviside para v < C ? Eso parecería moderadamente ad-hoc , aunque quizás no irremediablemente. La producción de pares es un concepto teórico de campo cuántico que, como insinúas un poco, nos coloca en un campo completamente diferente y apenas comprendido.
@Peter, pensaría que dice que las energías pueden ir de 0 a infinito, y luego obtienes una distribución de probabilidad para energías que no parece artificial. A partir de ahí, puedes transformarla en una distribución de velocidades si así lo deseas. Al hacer la transformación, naturalmente te detendrás en v = c. Supongo que tiene razón en que tiene que insertar una función de Heaviside. No, no tengo referencia; fue solo una respuesta improvisada.
Creo que este ansatz tiene un problema incluso para velocidades inferiores a c. Si mi k i norte = ( γ − 1 ) metro C 2 > 2 metro C 2 eso es para v > 2 3 2 C = 0,94 C la energía es suficiente para la producción de pares. Supongo que en este punto una distribución basada en un número constante de partículas no puede ser correcta, ¿verdad?
Bueno, buen intento, pero de hecho es un intento muy ingenuo. Mi sensación es que no sirve de nada tratar de crear una mecánica estadística relativista clásica (es decir, no cuántica) de manera similar a tratar de crear una mecánica cuántica relativista. En ambos casos se necesita introducir la posibilidad de creación/aniquilación para que la teoría sea consistente (o equivalentemente, pase al lenguaje de los campos). Y ni siquiera estoy hablando de cosas elementales, @asmaier menciona que, para las partículas relativistas, el concepto de energía cinética no es natural en el mejor de los casos...
@Marek Bueno, lo sabrías mejor que yo. Me interesaría si tuvieras tiempo para escribir una respuesta.
"dada una energía fija" No del todo. Es una energía media fija dada, o una temperatura fija dada, o algo similar. Sólo existe una distribución con energía fija: la función delta (Dirac para continua, Kronecker para discreta). La derivación de la distribución de MB comienza con un sistema en contacto con un baño de calor donde la energía total es fija, y observa la distribución de estados del sistema cuando el baño es mucho más grande (efectivamente, fijando la temperatura).
@Sean Supongamos que tengo un gas en un sistema aislado. ¿Está afirmando que después de mucho tiempo, la distribución de las energías cinéticas de las moléculas de ese gas no será una distribución de Boltzmann?
@Peter La distribución debe escribirse como una distribución sobre p en lugar de v , porque esa es la medida adecuada del espacio de fase, confirmada QM'ly por partículas en una caja. A diferencia de la velocidad, el impulso va de menos a más infinito.
@MarkEichenlaub Estoy diciendo que la energía total en ese gas tendrá un valor fijo único que no es aleatorio y no cambia. La energía de los componentes individuales es una cuestión aparte: se analiza tratando una molécula individual como "el sistema" y el resto del gas como "el baño".
La energía no es un estado. Un estado es un punto en algún espacio de fase. por ejemplo, un par de posición y momento para cada partícula. La distribución de Boltzmann es una distribución por estados, no por la energía total del sistema.

La generalización habitual, o de libro de texto (Juttner), que se derivó por primera vez en 1911, no es covariante. Presumiblemente, una distribución completamente covariante cubriría todos estos detalles suponiendo que exista en primer lugar. El intento más reciente que conozco es el de Ewald Lehmann, que vuelve a lo básico, "Mecánica estadística del equilibrio covariante", Journal of Mathematical Physics 47, 023303,2006.

david sher

Aquí está la generalización relativista:

F ( β ) = ( π α β 2 2 ( 1 − β 2 ) ) ( d − 1 ) / 2 mi − α / 1 − β 2 2 1 − β 2 k ( d + 1 ) / 2 ( α )
dónde α = metro C 2 k T , d es la dimensión espacial, y k es una función de Bessel. Dejaré la derivación al lector, pero esta integral es útil:
∫ 0 ∞ mi − α aporrear ⁡ θ pecado 2 v ⁡ θ d θ = 1 π ( 2 α ) v Γ ( v + 1 / 2 ) k v ( α )
Para d = 3 He incluido un gráfico con varios valores de α .

Distribución relativista de Maxwell-Boltzmann

Según la solicitud de Mark, proporcionaré una respuesta.

Primero, creo que no es posible obtener tal fórmula. Por supuesto, uno puede tratar ingenuamente de extrapolar varias fórmulas clásicas, pero todos estos intentos están condenados al fracaso. He aquí por qué: incluso cuando se construye la mecánica cuántica relativista uno encuentra que la teoría no es consistente. Por ejemplo, en la mecánica cuántica no relativista se tiene un operador de posición que se puede utilizar para obtener información sobre la posición precisa de la partícula (hasta la incertidumbre dada por el principio de incertidumbre de Heisenberg). Pero cuando uno incluye la relatividad en la imagen, la teoría deja de ser consistente. Esto refleja el hecho de que para localizar la partícula con gran precisión hay que hacer experimentos con energías cada vez más altas y en cierto punto la energía es suficiente para la aparición de nuevas partículas. En realidad, la creación y aniquilación de partículas es inevitable en el régimen relativista (y en algunos sistemas ni siquiera está claro qué deberían ser las partículas y en su lugar hay que hablar de campos). La situación es aún más pronunciada en la física estadística, donde hay una gran cantidad de partículas presentes.

Más importante aún, no hay necesidad de obtener esa fórmula. Considere los sistemas para los que sería útil. Dichos sistemas tendrían que ser extremadamente no clásicos (como estrellas de neutrones, agujeros negros en el interior, plasma de quarks y gluones, etc.) y el concepto de velocidad no tendría sentido ya que no hay forma de observar partículas individuales de estos sistemas; lo que contrasta con el caso clásico en el que puede probar la distribución de Maxwell dejando que las partículas salgan de la caja una por una y viendo qué tan rápido son (el experimento real es mucho más sofisticado, por supuesto, pero eso no es importante aquí).

¿Crees que la fórmula de Maxwell-Juttner es correcta?

No hay invariancia de conteo de partículas en la relatividad general. Se puede sustituir la densidad de energía y, desde un punto de vista clásico, una densidad de energía de equilibrio define una temperatura específica. El artículo de Lehmann, al que me referí en un comentario publicado anteriormente, claramente intenta hacer esto. Desde un punto de vista práctico, tales condiciones extremas impiden cualquier intento de verificación experimental. Las simulaciones numéricas generalmente se refieren a partículas clásicas impenetrables y no tienen en cuenta la pérdida de invariancia de conteo.

Se informa que Richard Feynman dijo algo en el sentido de que si puede obtener un resultado de varias maneras diferentes, probablemente tenga razón. Los resultados de Lehmann se pueden duplicar, al menos cualitativamente, utilizando el argumento original (adolescente) de Maxwell basado únicamente en la simetría. Ambos dan distribuciones que se vuelven más planas y ambos tienen una temperatura crítica de logT 11-12, aproximadamente lo que uno puede esperar en el corazón de una supernova con colapso del núcleo.

Un límite superior no debería ser una sorpresa. Por ejemplo, si vamos a condiciones cada vez más extremas, alcanzaremos las que prevalecían en el universo primitivo en el momento del big bang. Cualquier esperanza de incluso un equilibrio teórico es probable que se pierda mucho antes de esto.

El usuario 153362 y David Sher son la misma persona, yo, pero no he podido hacer que este miserable sitio reconozca esto.
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