¿Existe una expresión para los coeficientes del factorial descendente xn––≡x(x−1)…(x−n+1)xn_≡x(x−1)…(x−n+1)x^{\underline n} \equiv x (x-1) \dots (x-n+1)?

Sí, de hecho, tenga en cuenta que puede obtener un$x$o un número cuando lo despliegas, de ahí el coeficiente de$x^k$en esa expresión está

$$(-1)^{n-k}\sum _{\substack{S\subseteq [n-1]\\|S|=n-k}}\prod _{s\in S}s,$$ esto no es muy simple de calcular, pero es una fórmula cerrada. por ejemplo, cuando$k=1$usted obtiene$(-1)^{n-1}(n-1)!.$Estos números tienen un nombre, se llaman números de Stirling del primer tipo. Satisfacen una recurrencia que puede ser explícita a partir de la definición del factorial descendente.